Norma p

[qwertyuio1]

Devo far vedere che lo spazio di sobolev $W^{1,p}$ è normato. Il problema è la disuguaglianza triangolare.
Per semplificarmi la vita ho provato innazitutto a dimostrare che la norma p $||x||_p=(\sum_{i=1}^n|x_i|^p)^{1/p}$ con $p>=1$ è una norma su $R^n$. Ma non ci sono riuscito, a parte nel caso di p intero, perchè non so esprimere esplicitamente la potenza p-esima di una somma.
Potete darmi una mano?

[gugo82]

Che valga la disuguaglianza triangolare per [tex]$p\geq 1$[/tex] lo puoi vedere come un fatto banale di teoria degli [tex]$L^p$[/tex].

Infatti [tex]$||x||_p:=\left\{ \sum_{i=1}^n |x_i|^p \right\}^\frac{1}{p}$[/tex] non è altro che la [tex]$p$[/tex]-norma standard sull'insieme delle funzioni (misurabili of course) da [tex]$X:=\{ 1,\ldots ,n\}$[/tex] in [tex]$\mathbb{R}$[/tex]*, ove [tex]$X$[/tex] è dotato della misura [tex]$\mu$[/tex] che conta in [tex]$\mathcal{P}(X)$[/tex].
Risulta infatti:

[tex]$||x||_{L^p(X)} :=\left\{ \int_X |x|^p \text{ d} \mu \right\}^\frac{1}{p} =\left\{ \sum_{i=1}^{n} \int_{\{i\}} |x|^p \text{ d} \mu \right\}^\frac{1}{p} =\left\{ \sum_{i=1}^n |x_i|^p \right\}^\frac{1}{p} =||x||_p$[/tex]


__________
* Ogni [tex]$x=(x_1,\ldots ,x_n)\in \mathbb{R}^n$[/tex] può essere riguradato come l'applicazione [tex]$x:X\ni i \mapsto x_i \in \mathbb{R}$[/tex].

[qwertyuio1]

Grazie mille! Sono riuscito anche ad applicare questa idea alla norma di $W^{1,p}$