Norma operatoriale

[Webster]

Domanda spostata da Geometria e algebra lineare:

Sono dubbioso su alcune affermazioni circa la norma operatoriale che ho trovato su http://it.wikipedia.org/wiki/Norma_operatoriale e vorrei chiedervi di aiutarmi a fare chiarezza. La prima riguarda la definizione per un operatore $A:V→W$: $||A||_{op}=min_{v∈V}{c≥0:||Av||_W≤c||v||_V}$. Si afferma che il minimo esiste poichè l'insieme delle $c$ è chiuso, limitato e non vuoto; non capisco come si ricavino tali proprietà. La seconda perplessità riguarda la proprietà definita su operatori $A:V→W$ e $B:W→X$: $||BA||_{op}≤||B||_{op}||A||_{op}$. In particolare non riesco a capire cosa indichi il prodotto $BA$ visto che sono operatori appartenenti a spazi di operatori lineari continui differenti.
Grazie

[Emar1]

"Webster":La seconda perplessità riguarda la proprietà definita su operatori $A:V→W$ e $B:W→X$: $||BA||_{op}≤||B||_{op}||A||_{op}$. In particolare non riesco a capire cosa indichi il prodotto $BA$ visto che sono operatori appartenenti a spazi di operatori lineari continui differenti.

Il prodotto lo devi pensare come composizione: \(BA := B \circ A: V \to X\).

Pensa al caso finito dimensionale, prendiamo tre spazi vettoriali \(V,W,X\) su \(\mathbb{R}\) a dimensione finita e siano \(\dim V = n, \dim W = r,\dim X = m\). Consideriamo due applicazioni lineari \(T_1:V \to W\) e \(T_2:W \to X\). Per il teorema di rappresentazione, scelte tre basi, \(T_1\) e \(T_2\) saranno rappresentate da due matrici, \(A_1 \in \mathbb{R}^{n \times r}\) e \(A_2 \in \mathbb{R}^{r \times m}\) avendo \(T_1(x) = A_1x\) e \(T_2(x) = A_2x\).
Se ora consideri l'applicazione \(T_2 \circ T_1\) ottieni \(x \mapsto T_2(T_1(x)) = A_2(A_1x) = (A_2A_1)x\) la matrice associata alla composizione è il prodotto delle due.

Prendendo spunto da qui, anche nel caso multidimensionale, si scrive la composizione come prodotto degli operatori lineari.