Norma operatore in $L^2$
Ciao a tutti,
devo calcolare la norma dell'operatore definito su $L^2(-\pi,\pi)$ da
[tex](Af)(x) = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} sin(x+y) f(y) dy[/tex]
Sviluppando il seno dentro all'integrale posso riscrivere il tutto come
[tex]Af = v_1 + v_2 [/tex]
con $v_1 = sin x$, $v_2 = cos x$ e $ = 1/\pi \int_{-\pi}^{\pi} a(y) b(y) dy$.
Dalla formula precedente discende che $A$ è un proiettore. Dunque $||A||=1$. E' giusto secondo voi?
devo calcolare la norma dell'operatore definito su $L^2(-\pi,\pi)$ da
[tex](Af)(x) = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} sin(x+y) f(y) dy[/tex]
Sviluppando il seno dentro all'integrale posso riscrivere il tutto come
[tex]Af = v_1
con $v_1 = sin x$, $v_2 = cos x$ e $
Dalla formula precedente discende che $A$ è un proiettore. Dunque $||A||=1$. E' giusto secondo voi?
Risposte
Ok! Quello è il proiettore sul sottospazio generato da [tex]\sin x, \cos x[/tex]. L'unica cosa, stai assumendo come prodotto scalare [tex](f, g)=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi f(t)g(t)\, dt[/tex]; se invece il prodotto fosse senza quel fattore [tex]\frac{1}{\pi}[/tex] la norma cambierebbe.
Grazie della risposta dissonance! Infatti sospettavo che ci fosse un ragionamento del genere dietro. Per capire...se io invece definissi
[tex](f,g) = \int_{\pi}^{\pi} f(t) g(t) dt[/tex]
si avrebbe [tex]A' = A / \pi[/tex] e quindi la norma sarebbe semplicemente [tex]||A'||=1/\pi[/tex] ?
[tex](f,g) = \int_{\pi}^{\pi} f(t) g(t) dt[/tex]
si avrebbe [tex]A' = A / \pi[/tex] e quindi la norma sarebbe semplicemente [tex]||A'||=1/\pi[/tex] ?
non bisognerebbe anche mostrare che $PP^+=P^+P=1$ per far vedere che è un proiettore (sottointeso ortogonale), altrimenti sarebbe un proiettore obliquo o qualcosa del genere?
@antani: Si vede che è un proiettore dalla formula
[tex]$Af = (f, \sin x) \sin x+(f, \cos x)\cos x[/tex]
e dal fatto che [tex]\sin x, \cos x[/tex] sono ortogonali.
@alle.fabbri: (EDIT: La parte in rosso è errata) Si. Se il prodotto fosse senza [tex]\frac{1}{\pi}[/tex] allora l'identità sarebbe
[tex]$\pi Af = (f, \sin x) \sin x+(f, \cos x)\cos x[/tex]
quindi [tex]\lVert \pi A \rVert=1[/tex].
RIEDIT: Ok, scusate, mi ero impaperato con questi [tex]\pi[/tex]. Dunque abbiamo capito che la norma di [tex]A[/tex] in [tex]L^2(\frac{dx}{\pi})[/tex] è 1. Allora ci chiediamo: qual è la norma di [tex]A[/tex] in [tex]L^2(dx)[/tex]? Risposta: sempre 1. Infatti
[tex]$\lVert A\rVert_{L^2(\frac{dx}{\pi})}=\sup \frac{\lVert Af \rVert_{L^2(\frac{dx}{\pi})}}{\lVert f \rVert _{L^2(\frac{dx}{\pi})}}\stackrel{\star}{=}\sup \frac{\lVert Af \rVert_{L^2(dx)} }{\lVert f \rVert _{L^2(dx)} }=\lVert A \rVert_{L^2(dx)[/tex]
(l'uguaglianza segnata con * vale perché nel prendere il rapporto si elidono i vari fattori [tex]1/\pi[/tex]).
Inoltre in entrambi i casi quello è un proiettore ortogonale. Solo che in [tex]L^2(dx)[/tex] proietta sul sottospazio generato da [tex]\frac{\sin x}{\pi}, \frac{\cos x}{\pi}[/tex], in [tex]L^2(\frac{dx}{\pi})[/tex] proietta su [tex]\sin x, \cos x[/tex] (che sono ortonormali già per fatti loro senza bisogno di dividere per [tex]\pi[/tex]). In entrambi i casi il risultato è esattamente lo stesso.
[tex]$Af = (f, \sin x) \sin x+(f, \cos x)\cos x[/tex]
e dal fatto che [tex]\sin x, \cos x[/tex] sono ortogonali.
@alle.fabbri: (EDIT: La parte in rosso è errata) Si. Se il prodotto fosse senza [tex]\frac{1}{\pi}[/tex] allora l'identità sarebbe
[tex]$\pi Af = (f, \sin x) \sin x+(f, \cos x)\cos x[/tex]
quindi [tex]\lVert \pi A \rVert=1[/tex].
RIEDIT: Ok, scusate, mi ero impaperato con questi [tex]\pi[/tex]. Dunque abbiamo capito che la norma di [tex]A[/tex] in [tex]L^2(\frac{dx}{\pi})[/tex] è 1. Allora ci chiediamo: qual è la norma di [tex]A[/tex] in [tex]L^2(dx)[/tex]? Risposta: sempre 1. Infatti
[tex]$\lVert A\rVert_{L^2(\frac{dx}{\pi})}=\sup \frac{\lVert Af \rVert_{L^2(\frac{dx}{\pi})}}{\lVert f \rVert _{L^2(\frac{dx}{\pi})}}\stackrel{\star}{=}\sup \frac{\lVert Af \rVert_{L^2(dx)} }{\lVert f \rVert _{L^2(dx)} }=\lVert A \rVert_{L^2(dx)[/tex]
(l'uguaglianza segnata con * vale perché nel prendere il rapporto si elidono i vari fattori [tex]1/\pi[/tex]).
Inoltre in entrambi i casi quello è un proiettore ortogonale. Solo che in [tex]L^2(dx)[/tex] proietta sul sottospazio generato da [tex]\frac{\sin x}{\pi}, \frac{\cos x}{\pi}[/tex], in [tex]L^2(\frac{dx}{\pi})[/tex] proietta su [tex]\sin x, \cos x[/tex] (che sono ortonormali già per fatti loro senza bisogno di dividere per [tex]\pi[/tex]). In entrambi i casi il risultato è esattamente lo stesso.
@dissonance
Giustissimo! Come dire che se scalo di un certo fattore il prodotto scalare concordemente scalerà la norma dei vettori e dunque la norma dell'operatore, essendo un rapporto, rimane invariata. Molto bello, molte grazie.
Ora l'unico mio problema rimane calcolare quella norma usando il metodo "standard", cioè maggiorare con Schwarz e poi trovare un vettore che soddisfi l'uguaglianza. L'unico problema è che come maggiorante di $||A||$, ammesso e non concesso di non aver sbagliato i conti, trovo $\sqrt 2$ che è maggiore di $1$ quindi va bene. La cosa che mi lascia perplesso è come capire quando il maggiorante sia in effetti troppo grande. Comunque mi pare di capire che il punto sia che non esiste un metodo generale per trovare la norme operatoriali, bisogna valutare e ragionare caso per caso, giusto?
@antani
Per verificare che il proiettore è in effetti ortogonale è molto più facile se usi il formalismo dei BraKet (quello di Dirac per la Meccanica Quantistica per capirci).
Giustissimo! Come dire che se scalo di un certo fattore il prodotto scalare concordemente scalerà la norma dei vettori e dunque la norma dell'operatore, essendo un rapporto, rimane invariata. Molto bello, molte grazie.
Ora l'unico mio problema rimane calcolare quella norma usando il metodo "standard", cioè maggiorare con Schwarz e poi trovare un vettore che soddisfi l'uguaglianza. L'unico problema è che come maggiorante di $||A||$, ammesso e non concesso di non aver sbagliato i conti, trovo $\sqrt 2$ che è maggiore di $1$ quindi va bene. La cosa che mi lascia perplesso è come capire quando il maggiorante sia in effetti troppo grande. Comunque mi pare di capire che il punto sia che non esiste un metodo generale per trovare la norme operatoriali, bisogna valutare e ragionare caso per caso, giusto?
@antani
Per verificare che il proiettore è in effetti ortogonale è molto più facile se usi il formalismo dei BraKet (quello di Dirac per la Meccanica Quantistica per capirci).
@dissonance
Non è che avresti qualche link ad esercizi sulle norme in $L^2$?
Non è che avresti qualche link ad esercizi sulle norme in $L^2$?
"alle.fabbri":Si beh tu che sei un fisico potresti intepretare la cosa in termini dimensionali: la norma di un operatore è una grandezza adimensionale. Non so quanto abbia senso questa affermazione ma suona bene!
Come dire che se scalo di un certo fattore il prodotto scalare concordemente scalerà la norma dei vettori e dunque la norma dell'operatore, essendo un rapporto, rimane invariata.
Comunque mi pare di capire che il punto sia che non esiste un metodo generale per trovare la norme operatoriali, bisogna valutare e ragionare caso per caso, giusto?Si. Questo perché il calcolo di ognuna è un problema di calcolo di un sup e non ci sono metodi generali. Spesso si riesce a ottenere una stima ma è molto più difficile provare che è la migliore possibile. Nel nostro caso, volendo fare finta di non esserci accorti che quello è un proiettore, si potrebbe usare lo strumento delle serie di Fourier.
"alle.fabbri":Proprio sulle norme in $L^2$ per la verità no... Ultimamente ho scoperto le dispense di Luigi Greco di Analisi Funzionale (per ingegneri) che sono molto ben fatte e sintetiche. Non sono esattamente ciò che cerchi, ma forse potranno esserti utili.
@dissonance
Non è che avresti qualche link ad esercizi sulle norme in $L^2$?
grazie!!
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo