Norma nello spazio di Sobolev
Salve ragazzi
Questa è una domanda veramente sciocca però vi assicuro che girando in rete e su libri non ho trovato un' esempio esplicito che mi chiarisse il concetto. La norma in $W_2^2(\Omega)$ con $\Omega\subset R^2$ è definita come
$||u||(\Omega)=\int_{\Omega}\sum_{|\alpha|\leq 2} |D^\alpha u|^2\ dxdy$.
Ora il mio problema è che non ho capito se
$|D^1 u|^2=(\frac{\partial u}{\partial x}+ \frac{\partial u}{\partial y})^2$
oppure
$|D^1 u|^2=(\frac{\partial u}{\partial x})^2+ (\frac{\partial u}{\partial y})^2$
Stessa cosa per $|D^2 u|^2$. Insomma non capisco se si intende il quadrato della somma o la somma dei quadrati...Grazie!
Simone
Questa è una domanda veramente sciocca però vi assicuro che girando in rete e su libri non ho trovato un' esempio esplicito che mi chiarisse il concetto. La norma in $W_2^2(\Omega)$ con $\Omega\subset R^2$ è definita come
$||u||(\Omega)=\int_{\Omega}\sum_{|\alpha|\leq 2} |D^\alpha u|^2\ dxdy$.
Ora il mio problema è che non ho capito se
$|D^1 u|^2=(\frac{\partial u}{\partial x}+ \frac{\partial u}{\partial y})^2$
oppure
$|D^1 u|^2=(\frac{\partial u}{\partial x})^2+ (\frac{\partial u}{\partial y})^2$
Stessa cosa per $|D^2 u|^2$. Insomma non capisco se si intende il quadrato della somma o la somma dei quadrati...Grazie!
Simone
Risposte
[tex]$\alpha$[/tex] è un multi-indice, ovvero una n-upla di interi [tex]$(\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_N)$[/tex].
[tex]$D^{\alpha}$[/tex] significa [tex]$\prod_{i=1}^N \frac{\partial^{\alpha_i}}{\partial x_i^{\alpha_i}} $[/tex], e la sommatoria è estesa a tutti i multi-indici tali per cui [tex]$|\alpha|=\sum_{i=1}^N \alpha_i \leq 2 $[/tex]. Quindi nel tuo caso i multi-indici sono (0,0), (0,1), (1,0), (1,1), (0,2) e (2,0).
[tex]$D^{\alpha}$[/tex] significa [tex]$\prod_{i=1}^N \frac{\partial^{\alpha_i}}{\partial x_i^{\alpha_i}} $[/tex], e la sommatoria è estesa a tutti i multi-indici tali per cui [tex]$|\alpha|=\sum_{i=1}^N \alpha_i \leq 2 $[/tex]. Quindi nel tuo caso i multi-indici sono (0,0), (0,1), (1,0), (1,1), (0,2) e (2,0).
Intanto grazie
Si il problema è che non riesco a capire come costruire il modulo di $D^(\alpha) u$ al quadrato. Vediamo forse lo devo intendere in questo senso, ad esempio in $R^2$
$\sum_(\alpha\leq 2)|D^(\alpha) u|^2=|D^(0) u|^2 + |D^(1) u|^2 +|D^(2) u|^2=$
$=|u|^2 + |\frac(\partial u)(\partial x)|^2 + |\frac(\partial u)(\partial y)|^2 + |\frac(\partial^2 u)(\partial x\partial y)|^2 + |\frac(\partial^2 u)(\partial y\partial x)|^2 + |\frac(\partial^2 u)(\partial x^2)|^2 + |\frac(\partial^2 u)(\partial y^2)|^2$
scusa se so un po' duro^^
Si il problema è che non riesco a capire come costruire il modulo di $D^(\alpha) u$ al quadrato. Vediamo forse lo devo intendere in questo senso, ad esempio in $R^2$
$\sum_(\alpha\leq 2)|D^(\alpha) u|^2=|D^(0) u|^2 + |D^(1) u|^2 +|D^(2) u|^2=$
$=|u|^2 + |\frac(\partial u)(\partial x)|^2 + |\frac(\partial u)(\partial y)|^2 + |\frac(\partial^2 u)(\partial x\partial y)|^2 + |\frac(\partial^2 u)(\partial y\partial x)|^2 + |\frac(\partial^2 u)(\partial x^2)|^2 + |\frac(\partial^2 u)(\partial y^2)|^2$
scusa se so un po' duro^^
[tex]$D^0$[/tex], [tex]$D^1$[/tex] e [tex]$D^2$[/tex] non vogliono dire niente. Al più puoi scrivere [tex]$D^{(0,0)}$[/tex], ecc. (un pò brutto in verità).
Comunque la tua espressione finale per [tex]$||u||$[/tex] è quasi giusta, solo devi togliere [tex]$\left|\frac{\partial^2u}{\partial y \partial x}\right|^2$[/tex], perché il multi-indice (1,1) è uno solo.
Comunque la tua espressione finale per [tex]$||u||$[/tex] è quasi giusta, solo devi togliere [tex]$\left|\frac{\partial^2u}{\partial y \partial x}\right|^2$[/tex], perché il multi-indice (1,1) è uno solo.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo