Norma $l^p$

[bernardo2]

Ciao a tutti, avevo il seguente problema: volevo dimostrare che la norma degli spazi $l^{p}$ definita come:

$p sqrt(\sum_{k=1}^{\infty}|a_{k}|^{p}) $
fosse effettivamente una norma.
I primi due punti sono facili da verificare ma il terzo ovvero la disuguaglianza triangolare non riesco proprio a farlo.. avete qualche suggerimento o aiuto da darmi?
Grazie

[Gaal Dornick]

Conosci gli spazi $L^p(\mu)$?

[bernardo2]

giusto la definizione...

[salvozungri]

Per dimostrare che vale la disuguaglianza triangolare, ho usato la disuguaglianza di Minkowsky... La conosci?

[bernardo2]

non credo ... ma comunque posso trovarla

[salvozungri]

Scusa, mi sono confuso, quello che dobbiamo dimostrare è proprio la disuguaglianza di Minkowsky, almeno io la conosco con questo nome
In pratica afferma che:

Disuguaglianza di Minkowsky
Siano $x= {x_i}_{i\in NN}, y= {y_i}_{i\in NN}$ due successioni di $l^p$ allora
$||x+y||_p=(\sum_{i\in NN} |x_i+y_i|^p)^(1/p)<= (\sum_{i\in NN} |x_i|^p)^(1/p)+(\sum_{i\in NN}|y_i|^p)^(1/p)=||x||_p+||y||_p$

Per la dimostrazione mi ricordo che si utilizzava la disuguaglianza di Holder.. Comunque non è immediatissimo come risultato . Dammi qualche momento che raccolgo le idee e ti faccio sapere

[salvozungri]

Casomai servisse scrivo la disuguaglianza di Holder in spoiler.

Disuguaglianza di Holder
Siano $x={x_i}_{i\in NN}, y={y_i}_{i\in NN}$ tali che $x\in l^p$ e $y\in l^q$ con $p, q$ esponenti coniugati, $1/p+1/q=1$ allora
$\sum_i |x_i y_i|<=(\sum_i |x_i|^p)^(1/p) (\sum_i |y_i|^q)^(1/q)$

Dimostriamo ora la disuaguaglianza di Minkowsky:

Poniamo per semplicità $\z_i= x_i+ y_i$ ciò implica che: $|z_i|^p = |x_i+y_i||z_i|^(p-1)<= (|x_i|+|y_i|)|z_i|^(p-1)$ da ciò segue facilmente che:

$\sum_i |z_i|^p<= \sum_i |x_i||z_i|^(p-1)+\sum_i |y_i||z_i|^(p-1)<=^{"Holder"} (\sum_i |x_i|^p)^(1/p) (\sum_i |z_i|^((p-1)q))^(1/q)+(\sum_i |y_i|^p)^(1/p) (\sum_i |z_i|^((p-1)q))^(1/q)= ((\sum_i |x_i|^p)^(1/p) +(\sum_i |y_i|^p)^(1/p)) (\sum_i |z_i|^p)^(1/q)$. dunque abbiamo ottenuto che:

$\sum_i |z_i|^p<= ((\sum_i |x_i|^p)^(1/p) +(\sum_i |y_i|^p)^(1/p)) (\sum_i |z_i|^p)^(1/q)$ dividendo ambo i membri per $(\sum_i |z_i|^p)^(1/q)$ otteniamo:
$(\sum_i |z_i|^p)^(1-1/q)<=(\sum_i |x_i|^p)^(1/p) +(\sum_i |y_i|^p)^(1/p)$, osservando che $1-1/q= 1/p$ abbiamo la tesi.