Norma integrale
Ciao a tutti,
ho un dubbio riguardo la norma integrale che nel mio testo è definita come $||x|| = int_{a}^{b}|x(t)|dt, \forall x \in C([a,b], R)$.
Per dimostrare che $(C([a,b], R), ||\cdot ||) $ non è completo nel testo prende una successione $(x_n) \subset C([a,b], R)$ e mostra che 'converge' a una certa $x: [a,b] \to R$ (R-integrabile ma non continua) ovvero che $||x_n - x|| \to 0$. La mia domanda è: se da una parte $x_n -x$ è integrabile e si può calcolare la norma, dall'altra la norma non era stata definita per funzioni discontinue quindi non ha molto senso parlare di convergenza a meno che non si consideri un qualche $X \supset C([a,b], R)$ che contenga anche $x$ su cui definire la norma (e non si può prendere $X = R([a,b], R)$ perchè cade la proprietà di annullamento*). Se non sto sbagliando con questo ragionamento, voi che X prendereste?
* e se si tolgono le funzioni non nulle con integrale nullo non si ha più uno sv
ho un dubbio riguardo la norma integrale che nel mio testo è definita come $||x|| = int_{a}^{b}|x(t)|dt, \forall x \in C([a,b], R)$.
Per dimostrare che $(C([a,b], R), ||\cdot ||) $ non è completo nel testo prende una successione $(x_n) \subset C([a,b], R)$ e mostra che 'converge' a una certa $x: [a,b] \to R$ (R-integrabile ma non continua) ovvero che $||x_n - x|| \to 0$. La mia domanda è: se da una parte $x_n -x$ è integrabile e si può calcolare la norma, dall'altra la norma non era stata definita per funzioni discontinue quindi non ha molto senso parlare di convergenza a meno che non si consideri un qualche $X \supset C([a,b], R)$ che contenga anche $x$ su cui definire la norma (e non si può prendere $X = R([a,b], R)$ perchè cade la proprietà di annullamento*). Se non sto sbagliando con questo ragionamento, voi che X prendereste?
* e se si tolgono le funzioni non nulle con integrale nullo non si ha più uno sv
Risposte
Continuando a studiare troverai una definizione opportuna di questo "spazio X". Si denota comunemente $L^1(a, b)$ e si può definire come "completamento" dello spazio normato che stai considerando tu, oppure introducendo una nozione di integrale più versatile.
Quanto alle tue osservazioni, formalmente hai ragione: non ha senso scrivere \(\|x_n-x\|\), bisognerebbe dimostrare che la successione \((x_n)\) è di Cauchy (e quindi, considerare \(\|x_n-x_{n+h}\|\) ) e che non ha limite. Per fare questo, però, è molto utile sospendere per un momento il giudizio formale e considerare \(\|x_n-x\|\) come se fosse ben definita, così da capire bene cosa sta succedendo. Fatto ciò, puoi procedere con la dimostrazione formale.
Quanto alle tue osservazioni, formalmente hai ragione: non ha senso scrivere \(\|x_n-x\|\), bisognerebbe dimostrare che la successione \((x_n)\) è di Cauchy (e quindi, considerare \(\|x_n-x_{n+h}\|\) ) e che non ha limite. Per fare questo, però, è molto utile sospendere per un momento il giudizio formale e considerare \(\|x_n-x\|\) come se fosse ben definita, così da capire bene cosa sta succedendo. Fatto ciò, puoi procedere con la dimostrazione formale.
Grazie mille!
Ciò che il tuo testo da vedere è effettivamente un po' fuorviante.
Per mostrare che uno spazio normato non è completo occorre far vedere che non tutte le successioni di Cauchy rispetto alla (metrica indotta dalla) norma sono convergenti. Ergo bisogna determinare una successione di Cauchy Che non converga nello spazio assegnato.
Nel caso in esame ciò si può mostrare dimostrando preventivamente che il limite di una successione in $C$ con la norma integrale coincide ovunque col limite puntuale della successione stessa, e poi riconducendo tutto ad un assurdo.
Prova.
Per mostrare che uno spazio normato non è completo occorre far vedere che non tutte le successioni di Cauchy rispetto alla (metrica indotta dalla) norma sono convergenti. Ergo bisogna determinare una successione di Cauchy Che non converga nello spazio assegnato.
Nel caso in esame ciò si può mostrare dimostrando preventivamente che il limite di una successione in $C$ con la norma integrale coincide ovunque col limite puntuale della successione stessa, e poi riconducendo tutto ad un assurdo.
Prova.
Se si prende $x_n: [0,2] \to R$ definita da $x_n(t) = 0$ in $[0, 1-1/n] \cup [1+ 1/n, 2]$, $x_n(t) = (t-1)n +1$ in $[1-1/n,1]$ e $x_n(t) = (1-x)n +1$ in $[1, 1+1/n]$, questa è continua per $n\ge 2$ e $int_{0}^{2}|x_n(t)|dt = 1/n$.
Perciò $||x_n|| \to 0$ se $n to +\infty$ cioè $x_n$ converge a 0, ma puntualmente $x_n$ converge $\chi_{\{1\}}(t)$, sto sbagliando io?
Perciò $||x_n|| \to 0$ se $n to +\infty$ cioè $x_n$ converge a 0, ma puntualmente $x_n$ converge $\chi_{\{1\}}(t)$, sto sbagliando io?
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