Norma di un operatore.
Questa è la formula che mi consente il calcolo di una norma di un operatore, ma non ho nessuna idea di come debba essere applicata per un calcolo esplicito !!!
Qualcuno potrebbe fornirmi degli esempi di calcolo , anche solo uno me ne basterebbe per capire la procedura di calcolo, grazie.
N.B Spero di non aver commesso errori di nessun tipo nella trascrizione dell equazione (le uniche cose che non sono riuscito a trovare su LaTex sono la variabile x e l'operazione di diviso.)
\(\displaystyle \left \| T \right \| := \sup_{ x\neq 0} \frac{\left \| Tx \right \|_Y}{\left \| x \right \|_X} \)
Qualcuno potrebbe fornirmi degli esempi di calcolo , anche solo uno me ne basterebbe per capire la procedura di calcolo, grazie.
N.B Spero di non aver commesso errori di nessun tipo nella trascrizione dell equazione (le uniche cose che non sono riuscito a trovare su LaTex sono la variabile x e l'operazione di diviso.)
\(\displaystyle \left \| T \right \| := \sup_{ x\neq 0} \frac{\left \| Tx \right \|_Y}{\left \| x \right \|_X} \)
Risposte
Ho svolto parecchi esercizi del genere... Prova a cercare sul forum. 
La formula è scritta correttamente gugo?
Effettuando la ricerca sul forum non mi viene fornito nessun post, potresti gentilmente scrivermi qualche esempio di facile comprensione qui ? 
Non vedo nessun calcolo di norme 
Beh, allora provaci tu.
C'ho provato , per esempio nel calcolare la norma di F(trasformata di Fourier) definito come operatore lineare e continuo da L^1-->L^infinito.
Io proseguo in questo modo :
\(\displaystyle \left \| p \right \|_{\infty }\leq 1/\sqrt{2\Pi }\left ( \left \| f \right \|_{1} \right ) \)
che posso riscrivere come :
\(\displaystyle \left \| F\left [ f \right ] \right \|_{1}\leq 1/2\Pi\left ( \left \| f \right \|_{1} \right ) \)
che utilizzando la definizione di operatore diventa :
\(\displaystyle \left \| F \right \|\leq 1/\Pi \)
N.B nel secondo passaggio ho dimenticato una radice quadrata.
Adesso se per esempio prendo la funzione:
\(\displaystyle h\left ( x \right )= 1/\sqrt{\Pi }\left [ e^{-x^{2}} \right ]
\) che appartiene a L^1.
Ora la sua norma è
\(\displaystyle \left \| h \right \|_{1}= 1 \)
ancora , la sua antitrasformata è:
\(\displaystyle F\left [ h \right ]\left ( p \right )= \left ( 1/2\Pi \right )e^{-p^{2}/4} \)
adesso :
\(\displaystyle \left \| h \right \|_{\infty }= \sup \left ( p\varepsilon \Re \right )\left | h\left ( p \right ) \right |= 1/\sqrt{2\Pi }
\)
che utilizzando la definizione di Norma di un operatore si ha che essa è uguale a
\(\displaystyle\left \| F \right \|= 1/\sqrt{2\Pi } \)
E' giusto?
Lo stesso ragionamento posso utilizzarlo per funzioni che appartengono a L^2?
Io proseguo in questo modo :
\(\displaystyle \left \| p \right \|_{\infty }\leq 1/\sqrt{2\Pi }\left ( \left \| f \right \|_{1} \right ) \)
che posso riscrivere come :
\(\displaystyle \left \| F\left [ f \right ] \right \|_{1}\leq 1/2\Pi\left ( \left \| f \right \|_{1} \right ) \)
che utilizzando la definizione di operatore diventa :
\(\displaystyle \left \| F \right \|\leq 1/\Pi \)
N.B nel secondo passaggio ho dimenticato una radice quadrata.
Adesso se per esempio prendo la funzione:
\(\displaystyle h\left ( x \right )= 1/\sqrt{\Pi }\left [ e^{-x^{2}} \right ]
\) che appartiene a L^1.
Ora la sua norma è
\(\displaystyle \left \| h \right \|_{1}= 1 \)
ancora , la sua antitrasformata è:
\(\displaystyle F\left [ h \right ]\left ( p \right )= \left ( 1/2\Pi \right )e^{-p^{2}/4} \)
adesso :
\(\displaystyle \left \| h \right \|_{\infty }= \sup \left ( p\varepsilon \Re \right )\left | h\left ( p \right ) \right |= 1/\sqrt{2\Pi }
\)
che utilizzando la definizione di Norma di un operatore si ha che essa è uguale a
\(\displaystyle\left \| F \right \|= 1/\sqrt{2\Pi } \)
E' giusto?
Lo stesso ragionamento posso utilizzarlo per funzioni che appartengono a L^2?
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo