Norma di un funzionale

[DavideGenova1]

Ciao, amici! Dato il funzionale lineare \(C[a,b]\to\mathbb{R}\), o \(C[a,b]\to\mathbb{C}\) se $C[a,b]$ è complesso,\[F(x)=\int_{a}^{b}x(t)y_0(t)dt\]per un $y_0\in C[a,b]$ fissato mi è chiaro che \(|F(x)|\leq\|x\|\int_{a}^{b}|y_0(t)|dt\) e quindi \(\|F\|\leq\int_{a}^{b}|y_0(t)|dt\).
Il mio libro dice che effettivamente \(\|F\|=\int_{a}^{b}|y_0(t)|dt\), ma non mi riesce di dimostrarlo a me stesso. Se si potesse scegliere \(x(t)=|y_0(t)|/y_0(t)\) come funzione di norma unitaria vedrei che \(\|F\|=\sup_{x\ne 0}|F(x)|/\|x\|\) è raggiunto per tale $x$, ma \(x(t)=|y_0(t)|/y_0(t)\) non è affatto detto che stia in $C[a,b]$...
Qualche idea?
$\infty$ grazie a tutti!

[Sk_Anonymous]

Ti giuro che ha messo in crisi anche me, anche perché la versione inglese del Kolmogorov-Fomin fornisce a mio avviso un suggerimento fuorviante. Poi mi sono ricordato di un truc**** abbastanza utile e ricorrente: sia \[x_{\epsilon} (t) = \frac{y_0 (t)}{|y_0 (t)| + \epsilon}, \quad \epsilon > 0 \]E' evidente come \(x_{\epsilon} (t) \in \mathcal{C}([a,b])\); inoltre si ha \(\| x_{\epsilon} (t) \|_{\infty} \le 1 \). Quindi \[\|F \| \ge |T(x_{\epsilon})| = \int_a^b \frac{|y_0 (t)|^2}{|y_0 (t)| + \epsilon} \, dt \ge \int_a^b \frac{|y_0 (t)|^2 - \epsilon^2 }{|y_0 (t)| + \epsilon} \, dt = \int_a^b |y_0 (t) | \, dt - \epsilon (a-b) \]e questo vale \(\forall \epsilon > 0\), donde \[\|F \| \ge \int_a^b |y_0 (t) | \, dt \]

Prova a vedere se ti torna.

[DavideGenova1]

Bellissimo questo trucco! Analogamente direi che funziona con $x(t)=\bar{y_0(t)}/(|y_0(t)|+\epsilon)$ anche per il caso complesso.
$\infty$ grazie!!!

[Sk_Anonymous]

"DavideGenova":[...]Analogamente direi che funziona con $x(t)=\bar{y_0(t)}/(|y_0(t)|+\epsilon)$ anche per il caso complesso. [...]

Direi proprio di sì.

[DavideGenova1]

\(\vdash\) a volte non do i numeri. Grazie ancora!!!