Norma di sobolev

[Fox4]

Oddio, ho avuto un'amnesia! Qualcuno mi aiuta a dimostrare la subadditività per la norma di Sobolev?

supponiamo $1 $||u||_{W^{k,p}(U)}=(\sum_{|\alpha|<1}||D^\alphau||_{L^p(U)}^p)^{1/

}$

io sono arrivato a dire con Minkowski che
$||u+v||_{W^{k,p}(U)}=(\sum_{|\alpha|<1}||D^\alphau+D^\alphav||_{L^p(U)}^p)^{1/

}<=(\sum_{|\alpha|<1}(||D^\alphau||_{L^p(U)}+||D^\alphav||_{L^p(U)})^p)^{1/

}

da qui come procedo?

[dissonance]

Io questa cosa preferisco farla in astratto, ti togli il pensiero una volta per tutte e hai un risultato pure abbastanza utile:
siano $V_1,...,V_n$ spazi normati, $|*|$ sia una norma di $RR^n$. Definendo $||(v_1,...,v_n)||=|(||v_1||_{V_1}, ..., ||v_n||_{V_n})|$ definiamo una norma su $V_1 times V_n$.

(Risultati collaterali: Scegliendo un'altra norma di $RR^n$ avremmo ottenuto una norma su $V_1times...timesV_n$ equivalente a questa; se $V_1...V_n$ sono completi anche $V_1times...timesV_n$ con una di queste norme lo è; infine tutte queste norme generano la topologia prodotto.)

La dimostrazione di questa roba non è difficile, comunque la puoi trovare su Gilardi, osservazione 6.4 . (Lo so, lo so, passo sempre gli stessi link. ) .

Con lo stesso principio mostri che le norme di Sobolev sono effettivamente norme. Oppure puoi consultare sempre Gilardi ma a pagina 26.

[dissonance]

Ecco, per esempio nel tuo post sopra puoi osservare che $||u||_{W^{k, p}}=|(||D^alphau||_{L^p}\ :\ |alpha|<=k)|_p$, dove $|*|_p$ è la norma $p$ su $RR^n$ e con $(||D^alphau||_{L^p}\ :\ |alpha|<=k)$ intendo il vettore di $RR^n$ composto dalle derivate di $u$ di ordine $<=k$. Dal fatto che $|*|_p$ è una norma puoi ricavare tutto quello che ti serve.

[Fox4]

Aaah, grazie!

giusto posso vedere in sostanza la norma di sobolev come la composizione della norma prodotto e della norma $p$ su $\mathbb{R}^N$ dove $N$ è il numero di $\alpha\ \ tc\ \ |\alpha|<=k$
quindi $(\sum_{|\alpha|<=k}(||D^\alphau||_{L^p(U)}+||D^\alphav||_{L^p(U)})^p)^{1/

}<=(\sum_{|\alpha|<=k}||D^\alphau||_{L^p(U)}^p)^{1/

}+(\sum_{|\alpha|<1}||D^\alphav||_{L^p(U)}^p)^{1/

}

e ho finito