Norma della trasformata di Fourier
Ciao a tutti, sto studiando Analisi funzionale (bellissima, peraltro) e non riesco a risolvere un problemino da quattro soldi.
Sto cercando di dimostrare che la trasformata di Fourier, vista come operatore lineare dallo spazio $(L_1 , ||.||_1)$ allo spazio $(C_0 , ||.||_u)$ ha norma unitaria.
Il teorema di Plancherel dice che lo stesso operatore, agente sullo spazio delle funzioni rapidamente decrescenti, ha norma $sqrt(2*Pi)$... ma nel caso in esame, come faccio a trovare la norma?
Ho dimostrato che la norma è $<=1$, quindi il sup è evidentemente 1, purtroppo però non riesco a trovare una funzione appartenente allo spazio $L_1$ che renda "palese" questa congettura.
Qualche idea?
Grazie
Fabio
Sto cercando di dimostrare che la trasformata di Fourier, vista come operatore lineare dallo spazio $(L_1 , ||.||_1)$ allo spazio $(C_0 , ||.||_u)$ ha norma unitaria.
Il teorema di Plancherel dice che lo stesso operatore, agente sullo spazio delle funzioni rapidamente decrescenti, ha norma $sqrt(2*Pi)$... ma nel caso in esame, come faccio a trovare la norma?
Ho dimostrato che la norma è $<=1$, quindi il sup è evidentemente 1, purtroppo però non riesco a trovare una funzione appartenente allo spazio $L_1$ che renda "palese" questa congettura.
Qualche idea?
Grazie
Fabio
Risposte
Prova a prendere una delta-successione (ad esempio i mollificatori di Friedrichs). Gli integrali fanno sempre uno e la trasformata dovrebbe tendere a quella della delta che è la costante uno.
Propongo un metodo alternativo che ho letto proprio ieri.
Sia $f \in L^1(RR^N)$, allora per il teorema di Riemann-Lebesgue $hat{f} \in C_0(RR^N)$ ed è immediato verificare che (*) $||hat{f}||_infty<=||f||_1$. Affermiamo che vale l'uguaglianza in (*) se $f$ è una funzione positiva (da qui segue immediatamente la tesi).
Per dimostrare questo osserviamo che, se $f>=0$, allora $|hat{f}(xi)|$ ha un massimo assoluto per $xi=0$: difatti $|hat{f}(xi)|<=||hat{f}||_infty<=||f||_1=hat{f}(0)$ (perché $f$ è positiva). E allora
$||f||_1=hat{f}(0)=|hat{f}(0)|=||hat{f}||_infty$. /////
P.S.: Non mi ero accorto che consideri $C_0$ con la norma $||*||_u$ che non so cosa significhi. Io mi sono riferito a $||u||_infty="sup"{|u(x)|\ |\ x\in RR^N}$.
Sia $f \in L^1(RR^N)$, allora per il teorema di Riemann-Lebesgue $hat{f} \in C_0(RR^N)$ ed è immediato verificare che (*) $||hat{f}||_infty<=||f||_1$. Affermiamo che vale l'uguaglianza in (*) se $f$ è una funzione positiva (da qui segue immediatamente la tesi).
Per dimostrare questo osserviamo che, se $f>=0$, allora $|hat{f}(xi)|$ ha un massimo assoluto per $xi=0$: difatti $|hat{f}(xi)|<=||hat{f}||_infty<=||f||_1=hat{f}(0)$ (perché $f$ è positiva). E allora
$||f||_1=hat{f}(0)=|hat{f}(0)|=||hat{f}||_infty$. /////
P.S.: Non mi ero accorto che consideri $C_0$ con la norma $||*||_u$ che non so cosa significhi. Io mi sono riferito a $||u||_infty="sup"{|u(x)|\ |\ x\in RR^N}$.
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