Norma degli operatori

[zwan9]

Sono un po'in difficoltà nel calcolare le norme degli operatori.. potreste aiutarmi indicandomi uno schema risolutivo? Ad esempio, dovrei calcolare, della matrice quadrata M (caratterizzata dagli elementi: 1 1 nella prima riga e 0 1 nella seconda) la norma ||M||1,1 .

Inoltre, che differenza c'è tra calcolare, della stessa matrice, la norma ||M||1,infinito da ||M||infinito,1 ? (Spero si capisca la grafica nonostante la mancanza di caratteri matematici..)
Grazie!
zwan

[Studente Anonimo]

Cosa intendi per ||M||1,1 , ||M||1,infinito , ||M||infinito,1 ?

Io sapevo che la norma dell'operatore linerare M:R^2-->R^2 (oppure M:C^2-->C^2 ) si indica con ||M|| senza l'aggiunta di altri termini.

Bye.

[zwan9]

da quanto mi pare di aver capito, calcolare ||M||1,1 significa considerare una funzione che, dalla matrice a valori in L1, mi fornisca una norma a valori anch'essa in L1 (e similmente con gli altri esempi).. il problema è che non so come affrontare questo a livello di calcolo..

[Studente Anonimo]

Scusa, ma non capisco.

A me risulta che le matrici 2x2 (come nel tu caso) rappresentino operatori lineari da R^2 a R^2 (oppure da C^2 a C^2).

Lo spazio L1 , mi risulta, è lo spazio delle funzioni da R^n a C a potenza 1 sommabile, ed è uno spazio ad infinite dimensioni, per cui ammetterebbe al più matrici (che rappresentino operatori lineari) ad infinite righe e colonne ...

Una matrice 2x2 non è adatta quindi a rappresentare operatori su L1 (e neanche su L-infinito, lo spazio delle funzioni essenzialmente limitate). Un operatore del genere, per esempio, è la trasformazione di Fourier.

Bye.

[Camillo]

Quale sarebbe la norma, o le norme possibili(????) della matrice quadrata M 2x2 indicata da zwan9 ?
Spero la mia domanda sia ben posta .
ciao
Camillo

[Studente Anonimo]

Se T è un operatore lineare continuo fra i due spazi normati X e Y , la sua norma si indica con ||T|| e vale :



Le tre definizioni sono equivalenti.

Nel caso proposto da zwan9, se ho capito bene, si deve calcolare la norma dell'operatore lineare da R^2 a R^2 rappresentato dalla matrice :

M =

||1 1||
||0 1||.

In questo caso conviene considerare la seconda definizione e limitarci a vettori di R^2 di norma 1 del tipo x=(cos,sen) con da 0 a 2.

Avremo quindi :

||M|| = sup ||M x|| = sup sqrt(sen2 + sen + 1)

che è un normale problema di massimo e minimo ad una variabile.

S.E.e.O.

Bye.

ps. se interessa, potete consultare la pagina

http://www.arrigoamadori.com/lezioni/SpaziDiBanach/SpaziDiBanach.htm

sugli spazi normati e di Banach dove ho schematizzato le nozioni fondamentali.



Modificato da - arriama il 17/05/2004 14:20:20

[zwan9]

Stupendo! Grazie Arriama, mi hai dato una dritta! Grazie anche per il link, il sito è molto utile!!
zwan