Non so fare gli o piccoli, domanda su esercizio
Come risolvereste $ lim_(x -> 0) (o(x^2))/x $ ?
Io ho provato cosi:
$ lim_(x -> 0) (o(x^2))/x = lim_(x -> 0) o(x^2)* o(x^-1) = o(x) = 0 $
Ditemi se è corretto, purtroppo non ho le soluzioni
Io ho provato cosi:
$ lim_(x -> 0) (o(x^2))/x = lim_(x -> 0) o(x^2)* o(x^-1) = o(x) = 0 $
Ditemi se è corretto, purtroppo non ho le soluzioni
Risposte
Forse la maniera per capire più facilmente come trattare l'esercizio con l'o-piccolo è la seguente.
Innanzitutto la definizione:\[f(x)=o_\overline{x}(g(x))\iff\lim_{x\to\overline{x}}\frac{f(x)}{g(x)}=0\]È evidente che una riscrittura di tale definizione è:\[\lim_{x\to\overline{x}}\frac{o(f(x))}{f(x)}=0\]Da cui:\[\lim_{x\to0}\frac{o(x^2)}{x}=\lim_{x\to0}x\frac{o(x^2)}{x^2}=0\]
Innanzitutto la definizione:\[f(x)=o_\overline{x}(g(x))\iff\lim_{x\to\overline{x}}\frac{f(x)}{g(x)}=0\]È evidente che una riscrittura di tale definizione è:\[\lim_{x\to\overline{x}}\frac{o(f(x))}{f(x)}=0\]Da cui:\[\lim_{x\to0}\frac{o(x^2)}{x}=\lim_{x\to0}x\frac{o(x^2)}{x^2}=0\]
Non ho le idee totalmente chiare, il prof l' ha fatto in un modo diverso e anche quello ho problemi a capirlo.
Questo non mi è chiaro perchè ha utilizzato ovunque o-piccolo di uno e nel tuo esercizio non mi è chiaro a cosa serve moltiplicare per x numeratore e denominatore.
Sarei anche curioso di capire quando l'ho provato a fare io dove ho sbaglio. Grazie dell' aiuto a presto
Questo non mi è chiaro perchè ha utilizzato ovunque o-piccolo di uno e nel tuo esercizio non mi è chiaro a cosa serve moltiplicare per x numeratore e denominatore.
Sarei anche curioso di capire quando l'ho provato a fare io dove ho sbaglio. Grazie dell' aiuto a presto
Non ho capito come hai fatto a farti saltar fuori quel \(o(x^{-1})\); infatti \(x^{-1}\) non è un o-piccolo di \(\frac{1}{x}\) poiché il limite dell'opportuno rapporto dà \(1\).
Cosa ho fatto io:
sono partito da \(\lim_{x\to\overline{x}}\frac{o(f(x))}{f(x)}\); dunque nel tuo caso \(f(x)=x^2\); ottengo \(f(x)\) pure a denominatore semplicemente moltiplicando e dividendo per \(x\). Ora so quanto vale \(\lim_{x\to0}\frac{o(x^2)}{x^2}\) e si può concludere.
Cosa ha fatto il professore:
innanzitutto va detto che vale quanto segue: \(o(f(x))\cdot o(g(x))=o(f(x)\cdot g(x))\); quindi applica questo fatto, semplifica numeratore e denominatore e giunge a \(x\cdot o(1)\). Tramite la definizione è inoltre evidente che \(x=o_0(1)\). Tenuto conto di questo e dell'ultima regola applicata, per \(x\to0\) si ha: \(x\cdot o(1)=o(1)\cdot o(1)=o(1)\).
Puoi svolgere in moltissime maniere insomma: trova quella che a te è pià chiara.
Cosa ho fatto io:
sono partito da \(\lim_{x\to\overline{x}}\frac{o(f(x))}{f(x)}\); dunque nel tuo caso \(f(x)=x^2\); ottengo \(f(x)\) pure a denominatore semplicemente moltiplicando e dividendo per \(x\). Ora so quanto vale \(\lim_{x\to0}\frac{o(x^2)}{x^2}\) e si può concludere.
Cosa ha fatto il professore:
innanzitutto va detto che vale quanto segue: \(o(f(x))\cdot o(g(x))=o(f(x)\cdot g(x))\); quindi applica questo fatto, semplifica numeratore e denominatore e giunge a \(x\cdot o(1)\). Tramite la definizione è inoltre evidente che \(x=o_0(1)\). Tenuto conto di questo e dell'ultima regola applicata, per \(x\to0\) si ha: \(x\cdot o(1)=o(1)\cdot o(1)=o(1)\).
Puoi svolgere in moltissime maniere insomma: trova quella che a te è pià chiara.
Sto vedendo che con o-piccolo è abbastanza facile sbagliarsi, mi è stato consigliato da un amico l'utilizzo dell' asintotico per la risoluzione di limiti complessi e utilizzare l' o-piccolo solo quando ci si vede costretti (es. con taylor). Qual è la tua opinione in merito?
Grazie dell' aiuto
Grazie dell' aiuto
Data una palla \(B_r(\overline{x})\) di raggio \(r\) centrata in \(\overline{x}\) e date le funzioni \(f\) e \(g\) definite su \(B_r(\overline{x})\) con \(g(x)\neq0,\>\forall x\in B_r(\overline{x})\setminus\{\overline{x}\}\) si dice che \(f\) è asintoticamente equivalente a \(g\) in \(\overline{x}\) se e solo se il limite del rapporto tra \(f(x)\) e \(g(x)\) è l'unità. In simboli:\[f\sim_\overline{x}g\iff\lim_{x\to\overline{x}}\frac{f(x)}{g(x)}=1\]dove \(x\) può eventualmente tendere all'infinito.
Ma \(\lim_{x\to\overline{x}}\frac{f(x)}{g(x)}=1\iff\lim_{x\to\overline{x}}\frac{f(x)-g(x)}{g(x)}=0\). Perciò, detta \(h(x)=f(x)-g(x)\), si sta dicendo: \(h(x)=o(g(x))\implies f(x)-g(x)=o(g(x))\implies f(x)=g(x)+o(g(x))\).
Allora \(f\sim_\overline{x}g\) equivale a dire \(f(x)=g(x)+o_\overline{x}(g(x))\). È evidente che vale il viceversa.
Quindi scegli ciò che preferisci: l'equivalenza asintotica ha una scrittura più leggera, l'o-piccolo ti ricorda sempre a quale ordine di infinitesimo sei (e perciò risulta comodo dove è un po' più complicato).
Ma \(\lim_{x\to\overline{x}}\frac{f(x)}{g(x)}=1\iff\lim_{x\to\overline{x}}\frac{f(x)-g(x)}{g(x)}=0\). Perciò, detta \(h(x)=f(x)-g(x)\), si sta dicendo: \(h(x)=o(g(x))\implies f(x)-g(x)=o(g(x))\implies f(x)=g(x)+o(g(x))\).
Allora \(f\sim_\overline{x}g\) equivale a dire \(f(x)=g(x)+o_\overline{x}(g(x))\). È evidente che vale il viceversa.
Quindi scegli ciò che preferisci: l'equivalenza asintotica ha una scrittura più leggera, l'o-piccolo ti ricorda sempre a quale ordine di infinitesimo sei (e perciò risulta comodo dove è un po' più complicato).
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