Non so come impostare questo problema
Determinare i termini della sucessione definita per ricorrenza
${(a_(n+2)-a_(n+1)+a_n=(-1)^n n),(a_0=1,a_1=0):}$
${(a_(n+2)-a_(n+1)+a_n=(-1)^n n),(a_0=1,a_1=0):}$
Risposte
Zeta-trasfòrmati, il mondo è più bello!
Azzz---allora gliela mette pure!
Puoi usare le generating functions. Se $a_(n+2)-a_(n+1)+a_n=(-1)^n n$ moltiplichi per $x^n$ e sommi su tutti i valori di $n$ ammissibili:
$sum_(n>=0)a_(n+2)x^n-sum_(n>=0)a_(n+1)x^n+sum_(n>=0)a_nx^n=sum_(n>=0)(-1)^n nx^n$.
Se $A(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+ldots$, ottieni che $(A(x)-a_0-a_1x)/x^2-(A(x)-a_0)/x+A(x)=-x+2x^2-3x^3+ldots$
Sfruttando le condizioni iniziali $a_0=1$ e $a_1=0$ e considerato che il termine al secondo membro è $x d/(dx) 1/(1+x)$ (progressione geometrica di ragione $-x$), hai che
$(A(x)-1)/x^2-(A(x)-1)/x+A(x)=(-x)/(1+x)^2$. Risolvendo per $A(x)$, ottieni $A(x)=-(x^3+2x^2-x-1)/((x+1)^2(x^2-x+1))$.
I termini della successione sono belli belli i coefficienti dello sviluppo in serie di $A(x)$: $1,0,-2,0,-1,0,3,ldots$
$sum_(n>=0)a_(n+2)x^n-sum_(n>=0)a_(n+1)x^n+sum_(n>=0)a_nx^n=sum_(n>=0)(-1)^n nx^n$.
Se $A(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+ldots$, ottieni che $(A(x)-a_0-a_1x)/x^2-(A(x)-a_0)/x+A(x)=-x+2x^2-3x^3+ldots$
Sfruttando le condizioni iniziali $a_0=1$ e $a_1=0$ e considerato che il termine al secondo membro è $x d/(dx) 1/(1+x)$ (progressione geometrica di ragione $-x$), hai che
$(A(x)-1)/x^2-(A(x)-1)/x+A(x)=(-x)/(1+x)^2$. Risolvendo per $A(x)$, ottieni $A(x)=-(x^3+2x^2-x-1)/((x+1)^2(x^2-x+1))$.
I termini della successione sono belli belli i coefficienti dello sviluppo in serie di $A(x)$: $1,0,-2,0,-1,0,3,ldots$
"elgiovo":
I termini della successione sono belli belli i coefficienti dello sviluppo in serie di $A(x)$: $1,0,-2,0,-1,0,3,ldots$
E come si sviluppa in serie un polinomio?
Sicuramente volevi dire come si sviluppa in serie una funzione fratta (un polinomio è il risultato di uno sviluppo in serie). Ci sono più metodi. Quand'è così, io direi di scomporre la funzione in fratti semplici: $A(x)=(-4x)/(3(x^2-x+1))+1/(x^2-x+1)-1/(3(x+1)^2)+1/(3(x+1))$ e poi di "scovare" serie geometriche. Ad esempio, la prima frazione, ricorrendo ancora ai fratti semplici fattorizzando il denominatore con le sue radici complesse, diventa $4/3[(1/2+sqrt3/6i)/(x-1/2+sqrt3/2i)+(1/2-sqrt3/6i)/(x-1/2-sqrt3/2i)]$. Ora, la prima di queste due ultime frazioni nelle quadre deve essere ricondotta nella forma $1/(1-a)$, e quindi diventa $1/(1-((x-1)(sqrt3i-3))/2)$. La seconda diventa $1/(1+((x-1)(3+sqrt3i))/2)$. La seconda frazione è simile alla prima, solo che devi fare attenzione con i numeratori. La terza frazione è facilmente $1/3 d/(dx) 1/(1+x)$ e la terza è banalmente la somma di una serie geometrica di primo termine $1/3$ e ragione $-x$. Altrimenti si può sviluppare in serie con la formula di Taylor applicata nell'origine (quindi con la formula di McLaurin), ma è piuttosto complicato (io evito sempre Taylor, almeno quando mi è possibile). Se hai un computer che fa il lavoro per te allora va bene Taylor. Buon lavoro...
Visto che queste domande mi incuriosiscono posto la risposta al tuo quesito: il termine generale è
$a_n=-4/3 sqrt3 /3 i [(-1)^n(sqrt3/2 i -1/2)^n-(1/2+sqrt3/2 i)^n]+(1/2+sqrt3/6 i)(1/2-sqrt3/2 i)^n+(1/2-sqrt3 /6 i)(1/2+sqrt3 /2 i)^n - 1/3 (-1)^n(n+1)+1/3(-1)^n$.
$a_n=-4/3 sqrt3 /3 i [(-1)^n(sqrt3/2 i -1/2)^n-(1/2+sqrt3/2 i)^n]+(1/2+sqrt3/6 i)(1/2-sqrt3/2 i)^n+(1/2-sqrt3 /6 i)(1/2+sqrt3 /2 i)^n - 1/3 (-1)^n(n+1)+1/3(-1)^n$.
Ho trovato un altro metodo:
Applichiamo la trasformata $Z$ ad ambo i membri:
$Z[(a_(n+1)](z)-Z[(a_(n+1)](z)+Z[(a_n)](z)=Z[(-1)^n n](z)$
da cui si otterrà una funzione $f(z)$;ebbene,si può dimostrare che $a_n=SigmaResz^(n-1)f(z)$.
Applichiamo la trasformata $Z$ ad ambo i membri:
$Z[(a_(n+1)](z)-Z[(a_(n+1)](z)+Z[(a_n)](z)=Z[(-1)^n n](z)$
da cui si otterrà una funzione $f(z)$;ebbene,si può dimostrare che $a_n=SigmaResz^(n-1)f(z)$.
Immaginavo che si potesse fare con la trasformata di Laplace, però non la conosco. Anche la teoria delle equazioni alle differenze finite sarebbe stata d'aiuto qui.
"elgiovo":
Immaginavo che si potesse fare con la trasformata di Laplace, però non la conosco. Anche la teoria delle equazioni alle differenze finite sarebbe stata d'aiuto qui.
Trasformata zeta.
Pardon.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo