Non so come comportarmi con n!
Salve, mi servirebbe un aiuto con l' n!, o meglio come riuscire a capire quali potenze o esponenziali o altri vanno ad infinito prima di lui:
Come faccio a capire che \(\displaystyle 5^{2n} \) va ad infinito meno velocemente di \(\displaystyle n! \);
che \(\displaystyle 32^{n^2} \)va ad infinito più velocemente di \(\displaystyle [(n+1)!]^2 \);
e che \(\displaystyle n^n \) va ad infinito più velocemente di \(\displaystyle e^n \) o \(\displaystyle e^{2n} \)
Per quanto riguarda quest ultimo, che \(\displaystyle n^n \)va ad infinito più velocemente di \(\displaystyle e^n \) forse l'ho capito ma chi mi assicura che va più velocemente anche \(\displaystyle e^{2n} \)?
Sempre in ambito di velocità all'infinito, come faccio a vedere che \(\displaystyle 4^{(n+1)!} \) va ad infinito più velocemente di \(\displaystyle n!^n7^{n(n+1)} \)? Mi basta vedere solo gli esponenti?
Come faccio a capire che \(\displaystyle 5^{2n} \) va ad infinito meno velocemente di \(\displaystyle n! \);
che \(\displaystyle 32^{n^2} \)va ad infinito più velocemente di \(\displaystyle [(n+1)!]^2 \);
e che \(\displaystyle n^n \) va ad infinito più velocemente di \(\displaystyle e^n \) o \(\displaystyle e^{2n} \)
Per quanto riguarda quest ultimo, che \(\displaystyle n^n \)va ad infinito più velocemente di \(\displaystyle e^n \) forse l'ho capito ma chi mi assicura che va più velocemente anche \(\displaystyle e^{2n} \)?
Sempre in ambito di velocità all'infinito, come faccio a vedere che \(\displaystyle 4^{(n+1)!} \) va ad infinito più velocemente di \(\displaystyle n!^n7^{n(n+1)} \)? Mi basta vedere solo gli esponenti?
Risposte
Puoi usare la formula di Stirling oppure qualche sua approssimazione più semplice. Io la formula di Stirling completa (che trovi qui:
http://it.wikipedia.org/wiki/Approssima ... i_Stirling
tendo a dimenticarla sempre, perciò uso le stime elementari
http://it.wikipedia.org/wiki/Approssima ... elementari
che sono più facili da dimostrare e da ricordare.
http://it.wikipedia.org/wiki/Approssima ... i_Stirling
tendo a dimenticarla sempre, perciò uso le stime elementari
http://it.wikipedia.org/wiki/Approssima ... elementari
che sono più facili da dimostrare e da ricordare.
Grazie mille 
guardo i link e ti faccio sapere
guardo i link e ti faccio sapere
dissonance guarda ho provato a vedere e la parte delle stime elementari non la capisco proprio, quella di stirling ok però non so come applicarla o procedere su questi due:
\(\displaystyle 32^{n^2} \)va ad infinito più velocemente di \(\displaystyle [(n+1)!]^2 \)
\(\displaystyle 4^{(n+1)!} \) va ad infinito più velocemente di \(\displaystyle n!^n7^{n(n+1)} \)
Per il resto ci sono arrivato
\(\displaystyle 32^{n^2} \)va ad infinito più velocemente di \(\displaystyle [(n+1)!]^2 \)
\(\displaystyle 4^{(n+1)!} \) va ad infinito più velocemente di \(\displaystyle n!^n7^{n(n+1)} \)
Per il resto ci sono arrivato
In generale si dimostra che:
\[
\tag{1} \lim_n \frac{a^n}{n!} =0
\]
per ogni \(a\geq 0\) e che:
\[
\tag{2} \lim_n \frac{n!}{n^n}=0\; .
\]
Quindi:
\[
\lim_n \frac{e^n}{n!}=0\; ,
\]
ma anche:
\[
\lim_n \frac{e^{2n}}{n!} =\lim_n \frac{(e^2)^n}{n!} =0\; ,
\]
ed ovviamente:
\[
\lim_n \frac{e^{2n}}{n^n} =\lim_n \frac{e^{2n}}{n!}\ \frac{n!}{n^n} =0\cdot 0=0\; .
\]
Per quanto riguarda \(4^{(n+1)!}\) e \((n!)^n\ 7^{n(n+1)}\), non serve Stirling.
Nota che:
\[
4^{(n+1)!} = 4^{n!\ (n+1)} = \underbrace{4^{n!}\cdot 4^{n!}\cdots 4^{n!}}_{n+1 \text{ volte}}
\]
e:
\[
(n!)^n\ 7^{n\ (n+1)} = \underbrace{n!\ 7^n\cdot n!\ 7^n\cdots n!\ 7^n}_{n \text{ volte}}\ 7^n
\]
sicché:
\[
\frac{4^{(n+1)!}}{(n!)^n\ 7^{n(n+1)}} = \left(\frac{4^{n!}}{n!\ 7^n}\right)^n \ \frac{4^{n!}}{7^n}
\]
e termini applicando il criterio del rapporto alla successione \(4^{n!}/(n!\ 7^n)\) (basta provare che questa diverga per ottenere la divergenza della successione maggiorante \(4^{n!}/7^n\)).
\[
\tag{1} \lim_n \frac{a^n}{n!} =0
\]
per ogni \(a\geq 0\) e che:
\[
\tag{2} \lim_n \frac{n!}{n^n}=0\; .
\]
Quindi:
\[
\lim_n \frac{e^n}{n!}=0\; ,
\]
ma anche:
\[
\lim_n \frac{e^{2n}}{n!} =\lim_n \frac{(e^2)^n}{n!} =0\; ,
\]
ed ovviamente:
\[
\lim_n \frac{e^{2n}}{n^n} =\lim_n \frac{e^{2n}}{n!}\ \frac{n!}{n^n} =0\cdot 0=0\; .
\]
Per quanto riguarda \(4^{(n+1)!}\) e \((n!)^n\ 7^{n(n+1)}\), non serve Stirling.
Nota che:
\[
4^{(n+1)!} = 4^{n!\ (n+1)} = \underbrace{4^{n!}\cdot 4^{n!}\cdots 4^{n!}}_{n+1 \text{ volte}}
\]
e:
\[
(n!)^n\ 7^{n\ (n+1)} = \underbrace{n!\ 7^n\cdot n!\ 7^n\cdots n!\ 7^n}_{n \text{ volte}}\ 7^n
\]
sicché:
\[
\frac{4^{(n+1)!}}{(n!)^n\ 7^{n(n+1)}} = \left(\frac{4^{n!}}{n!\ 7^n}\right)^n \ \frac{4^{n!}}{7^n}
\]
e termini applicando il criterio del rapporto alla successione \(4^{n!}/(n!\ 7^n)\) (basta provare che questa diverga per ottenere la divergenza della successione maggiorante \(4^{n!}/7^n\)).
In poche parole devi sempre cercare di ricondurti ad un caso base...anche se c'è una funzione con un sacco di fattoriali e potenze alla fine, semplificando un po' dovresti riuscire a ricondurti ad una formula elementare come dimostrato da gugo
Urca..non ci sarei mai arrivato cosi Grazie mille gugo Bellissima spiegazione.
Ora me la copio e la studio per bene. Finalmente ho capito il meccanismo
Grazie ancora
P.S. il criterio del rapporto delle successioni è assunto ma in sensi pratici una dimostrazione non farebbe male
dimmi se è giusto, a me viene \(\displaystyle \frac{a_{n+1}}{a_n} \)
dopo vari passaggi \(\displaystyle \frac{4^n}{(7n+7)} \) quindi \(\displaystyle \frac{4^n}{7n(1+o(1))} \) e poichè \(\displaystyle \frac{n^\alpha}{a^n}=0 \), il risultato viene \(\displaystyle +\infty \) giusto?
Facendo la stessa cosa con\(\displaystyle \frac{4^{n!}}{7^n} \) viene anche li \(\displaystyle +\infty \)..dimmi che è giusto
P.S. ho cancellato e riscritto il messaggio perchè avevo scritto una cavolata e non me lo faceva modificare per il problema di cui già ti avevo parlato
perdonami, non considerarlo un UP. (non sempre questo pc mi fa modificare i messaggi)
Grazie mille gugo Bellissima spiegazione.Ora me la copio e la studio per bene. Finalmente ho capito il meccanismo
Grazie ancora
P.S. il criterio del rapporto delle successioni è assunto ma in sensi pratici una dimostrazione non farebbe male
dimmi se è giusto, a me viene \(\displaystyle \frac{a_{n+1}}{a_n} \)
dopo vari passaggi \(\displaystyle \frac{4^n}{(7n+7)} \) quindi \(\displaystyle \frac{4^n}{7n(1+o(1))} \) e poichè \(\displaystyle \frac{n^\alpha}{a^n}=0 \), il risultato viene \(\displaystyle +\infty \) giusto?
Facendo la stessa cosa con\(\displaystyle \frac{4^{n!}}{7^n} \) viene anche li \(\displaystyle +\infty \)..dimmi che è giusto
P.S. ho cancellato e riscritto il messaggio perchè avevo scritto una cavolata e non me lo faceva modificare per il problema di cui già ti avevo parlato
perdonami, non considerarlo un UP. (non sempre questo pc mi fa modificare i messaggi)
Beh, attento quando semplifichi gli esponenti.
Hai:
\[
\frac{4^{(n+1)!}}{(n+1)!\ 7^{n+1}} \ \frac{n!\ 7^n}{4^{n!}} = \frac{4^{n!\ (n+1)}}{7(n+1)\ 4^{n!}} =\frac{4^{n!\ n}}{7(n+1)} \to \infty\; .
\]
Per \(4^{n!}/7^n\) non serve fare conti in quanto:
\[
\frac{4^{n!}}{n!\ 7^n}\leq \frac{4^{n!}}{7^n}
\]
ed il primo membro diverge.
Hai:
\[
\frac{4^{(n+1)!}}{(n+1)!\ 7^{n+1}} \ \frac{n!\ 7^n}{4^{n!}} = \frac{4^{n!\ (n+1)}}{7(n+1)\ 4^{n!}} =\frac{4^{n!\ n}}{7(n+1)} \to \infty\; .
\]
Per \(4^{n!}/7^n\) non serve fare conti in quanto:
\[
\frac{4^{n!}}{n!\ 7^n}\leq \frac{4^{n!}}{7^n}
\]
ed il primo membro diverge.
Giusto ho fatto male un calcolo Grazie ancora gugo
tutto chiaro..
Grazie ancora gugo tutto chiaro..
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