Non separabilità
Salve a tutti,sto studiando la dimostrazione della non separabilità di $ l^\infty $ e non la riesco a capire o forse non ho capito prorpio il concetto di seprabilità !
Uno spazio metrico si dice SEPARABILE se contiene un sottoinsieme numerabile che è denso,quindi uno spazio NON lo è se non contiene alcun sottoinsieme numerabile che è denso .
La dimostrazione per $ l^\infty $ considera un sottoinsieme $ K$ di $ l^\infty $ costituito da tutte le successioni in ${0,1} $ e attraverso il metodo di Cantor di fa vedere che questo insieme non è numerabile ( tra l'altro prese due successioni distinte in $ K$ si vede che esse distano esattamente $ 1$ e quindi se si considerano le palle di centro tali successioni e di raggio $ 1/2 $ la loro intersezione è vuota ),poi si prende un sottoinsieme denso $ M $ di $ l^\infty $ e si fa vedere che non può essere nuemerabile...quest'ultima parte non l'ho proprio capita ! Ma che legame c'è tra $ K $ e $ M$ ???
Grazie a chiunque mi risponderà.
Uno spazio metrico si dice SEPARABILE se contiene un sottoinsieme numerabile che è denso,quindi uno spazio NON lo è se non contiene alcun sottoinsieme numerabile che è denso .
La dimostrazione per $ l^\infty $ considera un sottoinsieme $ K$ di $ l^\infty $ costituito da tutte le successioni in ${0,1} $ e attraverso il metodo di Cantor di fa vedere che questo insieme non è numerabile ( tra l'altro prese due successioni distinte in $ K$ si vede che esse distano esattamente $ 1$ e quindi se si considerano le palle di centro tali successioni e di raggio $ 1/2 $ la loro intersezione è vuota ),poi si prende un sottoinsieme denso $ M $ di $ l^\infty $ e si fa vedere che non può essere nuemerabile...quest'ultima parte non l'ho proprio capita ! Ma che legame c'è tra $ K $ e $ M$ ???
Grazie a chiunque mi risponderà.
Risposte
Fissa $\epsilon\in (0,1/2)$. Se $M$ è denso in \(\ell^{\infty}\), per ogni $x\in K$ esiste $m_x \in M$ tale che \( \|x-m_x\| < \epsilon \).
Ma $x,y\in K$, $x\ne y$ implica \( \|x-y\| \geq 1\), dunque si avrà anche \( \|m_x - m_y\| \geq \|x-y\| - \|m_x - x \| - \| m_y - y\| > 0\), cioè $m_x \ne m_y$.
Hai quindi costruito un'applicazione iniettiva $x\in K \mapsto m_x\in M$; ne segue dunque che la cardinalità di $M$ non può essere inferiore a quella di $K$.
Ma $x,y\in K$, $x\ne y$ implica \( \|x-y\| \geq 1\), dunque si avrà anche \( \|m_x - m_y\| \geq \|x-y\| - \|m_x - x \| - \| m_y - y\| > 0\), cioè $m_x \ne m_y$.
Hai quindi costruito un'applicazione iniettiva $x\in K \mapsto m_x\in M$; ne segue dunque che la cardinalità di $M$ non può essere inferiore a quella di $K$.
Non ho capito quello che mi hai scritto ! Come fai a dire che la cardinalità di M non può essere inferiore a quella di K ?? E poi scusa come fa ad essere $ ||x-y||>=1 $ , non è proprio $ 1 $?
Grazie.
Grazie.
"marge45":
Come fai a dire che la cardinalità di M non può essere inferiore a quella di K ??
Se $f:A\to B$ è iniettiva, allora la cardinalità di $B$ è $\ge$ di quella di $A$.
E poi scusa come fa ad essere $ ||x-y||>=1 $ , non è proprio $ 1 $?
Sì, vale esattamente $1$ (dunque è corretto dire che è $\ge 1$; era solo per sottolineare il fatto che non è essenziale che valga esattamente $1$).
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