Non riesco ad andare avanti con questo integrale!

[Giugi921]

Il testo è: $ int (e^{3x}-1) /(e^{2x}-3e^{x}+2)dx $
i miei calcoli svolti:
con la sostituzione, pongo $ e^{x}=t $ e $ x=lnt $ con $ dx= 1/t dt $ per cui l'integrale diventa: $ int (t^{3}-1) /(t^{2}-3t+2) * 1/tdt $ svolgendo i calcoli ( il numeratore posso scomporlo in fattori e al denominatore trovo le radici),ottengo:
$ int (t^{2}+t+1)/(t(t-2))dt $ poi non so più davvero come andare avanti...qualcuno potrebbe aiutarmi per favore??

[gugo82]

Beh, innanzitutto puoi fare la divisione fra polinomi e scrivere l'integrando come \(\text{cost.} + \frac{p(t)}{q(t)}\) con il gradi di \(q\) maggiore di quello di \(p\); poi scomponi in fratti semplici.

[Giugi921]

ok ho fatto la divisione tra polinomi e ho riscritto l'integrando come mi hai detto tu e viene: $ int1+(3t+1)/(t^{2}-2t)dt $
poi ho portato fuori dal simbolo di integrazione la costante 1 e mi risulta: $ t+int(3t+1)/(t^{2}-2t)dt $ ..ora però sono di nuovo bloccata! non posso nè fare ulteriori divisioni (sotto il $ del=0 $ ) nè fare il passaggio delle costanti!

[gugo82]

Scomponi in fratti semplici:
\[
\frac{3t+1}{t(t-2)} = \frac{A}{t} + \frac{B}{t-2}\ \ldots
\]

[Giugi921]

grazie mille! Sono arrivata alla conclusione e il risultato (il quale spero sia giusto) mi viene: $ e^{x}-1/2x +7/2*ln |e^{x}-2|+c $ grazie per avermi aiutata !

[robe921]

è esatta