Non riesco a risolvere questo limite
lim_(x->0^+) (x^(sin(x))-1)/x
Ho proceduto in questo modo:
Ho trasformato il sin con l'ausilio dei limiti notevoli
lim_(x->0^+) (x^(x))-1)/x
Poiché mi veniva una forma 0^0 ho riscritto la x^x in e^(xlnx) quindi ho:
lim_(x->0^+) (e^(xlnx)-1)/x
Poi ho fatto un cambiamento di variabile ponendo 1/x=t
Pertanto
lim_(t->+inf) (e^((1/t) (ln (1/t))-1)/(1/t) dopo una serie di passaggi sono arrivato a :
Lim_(t->+inf) (t^(-1/t)-1)/t^(-1)
Qui non so che fare forse è molto semplice risolverlo senza questi passaggi ma non riesco a capire come. Grazie a chi mi risponde
Ho proceduto in questo modo:
Ho trasformato il sin con l'ausilio dei limiti notevoli
lim_(x->0^+) (x^(x))-1)/x
Poiché mi veniva una forma 0^0 ho riscritto la x^x in e^(xlnx) quindi ho:
lim_(x->0^+) (e^(xlnx)-1)/x
Poi ho fatto un cambiamento di variabile ponendo 1/x=t
Pertanto
lim_(t->+inf) (e^((1/t) (ln (1/t))-1)/(1/t) dopo una serie di passaggi sono arrivato a :
Lim_(t->+inf) (t^(-1/t)-1)/t^(-1)
Qui non so che fare forse è molto semplice risolverlo senza questi passaggi ma non riesco a capire come. Grazie a chi mi risponde
Risposte
$$ x^{\sin (x)} = e^{\sin (x) \ln (x)} \implies \lim_{x \to 0^+} \ {\frac{x^{\sin (x)} - 1}{x}} = \lim_{x \to 0^+} \ {\frac{e^{\sin (x) \ln(x)} - 1}{x}} $$
Ora, ci conviene studiare il limite
$$ \lim_{x \to 0^+} \ {\sin (x) \ln (x) } = \lim_{x \to 0^+} \ {x \ln (x) \cdot \frac{\sin(x)}{x}} = \lim_{x \to 0^+} \ {x \ln (x)} $$
Ponendo
\[ t = \frac{1}{x} , \ t \to + \infty \]
il limite diventa
\[ \lim_{ t \to + \infty } {\frac {\ln \left ( \frac{1}{t} \right)}{ t}} = -\lim_{t \to + \infty} {\frac{ \ln (t)}{t}} = 0 \]
Quindi:
$$\lim_{x \to 0^+} \ {\sin (x) \ln (x) } = 0$$
Ricordando i limiti notevoli, in particolare quello dell'esponenziale:
$$\lim_{x \to 0^+} \ {\frac{e^{\sin (x) \ln(x)} - 1}{x}} = \lim_{x \to 0^+} \ {\frac{e^{\sin (x) \ln(x)} - 1}{\sin(x) \ln(x)} \cdot \frac{\sin(x)}{x} \cdot \ln (x) } = - \infty $$
Ora, ci conviene studiare il limite
$$ \lim_{x \to 0^+} \ {\sin (x) \ln (x) } = \lim_{x \to 0^+} \ {x \ln (x) \cdot \frac{\sin(x)}{x}} = \lim_{x \to 0^+} \ {x \ln (x)} $$
Ponendo
\[ t = \frac{1}{x} , \ t \to + \infty \]
il limite diventa
\[ \lim_{ t \to + \infty } {\frac {\ln \left ( \frac{1}{t} \right)}{ t}} = -\lim_{t \to + \infty} {\frac{ \ln (t)}{t}} = 0 \]
Quindi:
$$\lim_{x \to 0^+} \ {\sin (x) \ln (x) } = 0$$
Ricordando i limiti notevoli, in particolare quello dell'esponenziale:
$$\lim_{x \to 0^+} \ {\frac{e^{\sin (x) \ln(x)} - 1}{x}} = \lim_{x \to 0^+} \ {\frac{e^{\sin (x) \ln(x)} - 1}{\sin(x) \ln(x)} \cdot \frac{\sin(x)}{x} \cdot \ln (x) } = - \infty $$
Grazie mille davvero
Io mi sarei fermato quì:
$(e^(sin(x)ln(x))-1)$\(\displaystyle \sim \)$sin(x)ln(x)$ per $x->0^+$
$lim_(x->0^+)(sin(x)ln(x))/x=[1*(-infty)]=-infty$
"Berationalgetreal":
\[ x^{\sin (x)} = e^{\sin (x) \ln (x)} \implies \lim_{x \to 0^+} \ {\frac{x^{\sin (x)} - 1}{x}} = \lim_{x \to 0^+} \ {\frac{e^{\sin (x) \ln(x)} - 1}{x}} \]
$(e^(sin(x)ln(x))-1)$\(\displaystyle \sim \)$sin(x)ln(x)$ per $x->0^+$
$lim_(x->0^+)(sin(x)ln(x))/x=[1*(-infty)]=-infty$
"anto_zoolander":
Io mi sarei fermato quì:
[quote="Berationalgetreal"]\[ x^{\sin (x)} = e^{\sin (x) \ln (x)} \implies \lim_{x \to 0^+} \ {\frac{x^{\sin (x)} - 1}{x}} = \lim_{x \to 0^+} \ {\frac{e^{\sin (x) \ln(x)} - 1}{x}} \]
$(e^(sin(x)ln(x))-1)$\(\displaystyle \sim \)$sin(x)ln(x)$ per $x->0^+$
$lim_(x->0^+)(sin(x)ln(x))/x=[1*(-infty)]=-infty$[/quote]
Sarebbe insensato. L'asintoticità che citi vale $\iff \sin(x) \ln(x) \to 0, \ x \to 0^+$. Prima bisogna studiare separatamente il limite di quella funzione.
Ti faccio un controesempio:
\[ \lim_{x \to 0^+} \ { e^{\frac{\ln(x)}{x}} -1} \neq \lim_{ x \to 0^+} \ {\frac{\ln(x)}{x}} \]
Giusto. Non so a cosa stessi pensando 
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