Non riesco a risolvere questi limiti

[marthy_92]

Ciao a tutti ! Dopo aver risolto due equazioni differenziali devo determinare alcune loro soluzioni
che soddisfano delle condizioni particolari

1) La soluzione generale della prima equazione è

$ u (x, c) = -sqrtx-1/2+ce^(2sqrtx), c in R $

determinare tra queste le soluzioni $ u(x) $ che soddisfano la condizione $ lim_(x -> oo)u(x)= - oo $

così intuitivamente si capisce che per tutti i valori $ cleq0 $ il limite viene $ - oo $
Il problema è che non sono riuscita a calcolare esplicitamente questo limite.. ho riscritto tutto così

$ lim_(x -> oo)((ce^(2sqrtx)-1)/(2sqrtx))*2sqrtx -1/2-sqrtx $

sfruttando il limite notevole $ lim_(n -> oo) (e^(An)-1)/(An)=1 $ ma non mi sembra si risolva molto

2) Stesso problema. Tra le soluzioni

$ u(x,c)=-xe^(1/x)+cx, c inR $

determinare quelle $u(x)$ per cui sia finito il limite $ lim_(x -> +oo)u(x) $

Non riesco a risolvere il limite. Mi aiutate? Grazie

[@melia]

Per il primo basta osservare che quando $f(x) -> +oo$ anche $e^(f(x)) -> +oo$ ed è un infinito di ordine superiore rispetto a $f(x)$, quindi $e^(2sqrtx)$ è un infinito di ordine superiore rispetto a $sqrtx$, perciò se $c !=0$ è dall'esponenziale che dipende il risultato del limite, mentre se $c=0$ allora il limite dipende dalla radice di x. (tutto funziona ovviamente se $x-> +oo$, per $x-> -oo$ la radice non esiste in RR)

Per il secondo esercizio
$ lim_(x -> +oo)x(-e^(1/x)+c) $ ha il primo fattore che tende a $+oo$, quindi, per avere la possibilità che il limite sia finito, il secondo fattore $-e^(1/x)+c$ deve tendere a zero, quindi $ lim_(x -> +oo)(-e^(1/x)+c) =0 => c=1$. Adesso bisogna verificare che effettivamente $ lim_(x -> +oo)x(-e^(1/x)+1) $ sia finito,
$ lim_(x -> +oo)x(-e^(1/x)+1)=$ lo trasformo in modo da avere una forma $0/0$
$= lim_(x -> +oo)(-e^(1/x)+1)/(1/x)$ a questo punto applicando l'Hospital una volta ottieni che il limite è effettivamente finito e vale $1$.

[Palliit]

A quanto detto da @melia aggiungo che qua:

"Marthy_92":sfruttando il limite notevole $ lim_(n -> oo) (e^(An)-1)/(An)=1 $

commetti un errore: il limite cui fai riferimento vale $1$ quando esponente e denominatore tendono a zero, non ad infinito.