Non riesco a risolvere il limite

[blake1]

salve stavo svolgendo questo limite sara stupido per voi pero sto cercando di risolverlo senza usare de l'hopital
$ lim_(xrarr 0)(1+sin(x))^(1/x) $ io riconosco che è una forma indeterminata del tipo $1^oo$ allora svolgo cosi
$lim_(xrarr 0) e^(1/xlog(1+sin(x)))$ ora pero non riesco a risolvere la forma $0/0$ di $log(1+sin(x))/x$ come proseguò?

[Lory314]

Bhe per $x\to0$ hai che \[ \sin(x) \sim x\], quindi
\[
\log(1+\sin(x)) \sim \log(1+x);
\]
Rimane
\[
\lim_{x\to0}\frac{\log(1+x)}{x}
\]
Questo è un limite notevole che vale $1$.

[blake1]

cioè l'unico modo di risolverlo era solo con il metodo del confronto?

[Lory314]

Non so se è l'unico, ma è la cosa più immediata che mi è venuto in mente.

[blake1]

mannaggia piu studio sta roba e piu mi sento stupido che non ci arrivo

[giuscri]

"blake":cioè l'unico modo di risolverlo era solo con il metodo del confronto?

Be', il metodo piu' pocket. Io non ho mai imparato ad usare i limiti notevoli, pero' guardando come ogni tanto si fanno sul forum mi viene da dire che
\[\left[ 1 + \sin x \right]^{1/x} \Rightarrow \exp \left[ \frac{1}{x} \cdot \log (1 + \sin x) \right]
\equiv \exp \left[ \frac{\log(1+\sin x)}{\sin x} \cdot \frac{\sin x}{x} \right]
\to e \qquad |x| < \delta\]

[Lory314]

@giuscri: anche te nell'ultimo passaggio usi i limiti notevoli.

@blake: non sentirti stupido. Penso che, innanzi tutto, ci vuole molto esercizio. Solo così si riesce a prendere confidenza con l'argomento. Poi dipende molto dal corso di laurea che stai seguendo, dall'esame e dal tipo di background scolastico che hai alle spalle.

[Maci86]

Conosci gli sviluppi?

[giuscri]

"Lory314":@giuscri: anche te nell'ultimo passaggio usi i limiti

Sì, era proprio mia intenzione, visto che mi pare di capire blake non conosca Maclaurin

[blake1]

si conosco gli sviluppi pero magari non conosco come alcune funzioni si sviluppino in una certa forma