Non riesco a capire la prima costruzione in questa dimostrazione
Teorema: Sia A⊆R.
Allora:
(i) Se A `e superiormente limitato, A+ ammette minimo che viene detto l’estremo superiore di A e indicato con supA = minA+.
(ii) Se A `e inferiormente limitato, A− ammette massimo che viene detto l’estremo inferiore di A e indicato con inf A = maxA−.
Diamo solo un’idea della dimostrazione che contiene delle idee piuttosto interessanti. Dimostriamo (i) nel caso particolare in cui A∩R+ non=∅, cos`ı che A+ ⊆R+. Gli elementi di A+ saranno quindi del tipo x = k0,k1k2k3···. Consideriamo ˜ k0 = min{k0 |x∈A+}, A+ 0 ={x∈A+ |k0 = ˜ k0}, ˜ k1 = min{k1 |x∈A+ 0 }, A+ 1 ={x∈A+ 0 |k1 = ˜ k1}, e cos`ı via, iterando, ˜ kn = min{kn |x∈A+ n−1}, A+ n ={x∈A+ n−1 |kn = ˜ kn}. Si ha chiaramente A+ ⊇ A+ 0 ⊇ A+ 1 ⊇··· e tutti gli A+ r sono, per costruzione, non vuoti. Consideriamo L = ˜ k0,˜ k1˜ k2˜ k3··· e dimostriamo che questo `e il minimo di A+. Per come `estato costruito `e facile rendersi conto che L ≤ x per ogni x ∈ A+. Rimane da dimostrareche L sta in A+. Se per assurdo Lnon∈A+, vuol dire che non `e un maggiorante di A, quindiesiste y ∈A tale che y > L. Avremo y = h0,h1h2··· ed esister`a un indice r ≥0 tale che ˜ ki = hi per i = 0,1,...,r−1 e ˜ kr < hr . Scegliamo un qualunque z ∈ A+ r . z `e un maggiorante e la sua rappresentazione decimale `e del tipo z = ˜ k0,˜ k1˜ k2···˜ krkr+1···. Quindi z < y e questo `e assurdo perch`e y ∈ A e z ∈ A+. Quindi L deve stare in A+ e quindi `e il minimo di A+. Lo studente pensi a come estendere la dimostrazione di (i) al caso generale. La dimostrazione di (ii) si fa in modo analogo: vale la pena notare che sfruttando la simmetria dell’insieme dei numeri reali rispetto allo 0, si pu`o far discendere (ii) da (i); lasciamo allo studente il compito di formalizzare il procedimento.
Allora:
(i) Se A `e superiormente limitato, A+ ammette minimo che viene detto l’estremo superiore di A e indicato con supA = minA+.
(ii) Se A `e inferiormente limitato, A− ammette massimo che viene detto l’estremo inferiore di A e indicato con inf A = maxA−.
Diamo solo un’idea della dimostrazione che contiene delle idee piuttosto interessanti. Dimostriamo (i) nel caso particolare in cui A∩R+ non=∅, cos`ı che A+ ⊆R+. Gli elementi di A+ saranno quindi del tipo x = k0,k1k2k3···. Consideriamo ˜ k0 = min{k0 |x∈A+}, A+ 0 ={x∈A+ |k0 = ˜ k0}, ˜ k1 = min{k1 |x∈A+ 0 }, A+ 1 ={x∈A+ 0 |k1 = ˜ k1}, e cos`ı via, iterando, ˜ kn = min{kn |x∈A+ n−1}, A+ n ={x∈A+ n−1 |kn = ˜ kn}. Si ha chiaramente A+ ⊇ A+ 0 ⊇ A+ 1 ⊇··· e tutti gli A+ r sono, per costruzione, non vuoti. Consideriamo L = ˜ k0,˜ k1˜ k2˜ k3··· e dimostriamo che questo `e il minimo di A+. Per come `estato costruito `e facile rendersi conto che L ≤ x per ogni x ∈ A+. Rimane da dimostrareche L sta in A+. Se per assurdo Lnon∈A+, vuol dire che non `e un maggiorante di A, quindiesiste y ∈A tale che y > L. Avremo y = h0,h1h2··· ed esister`a un indice r ≥0 tale che ˜ ki = hi per i = 0,1,...,r−1 e ˜ kr < hr . Scegliamo un qualunque z ∈ A+ r . z `e un maggiorante e la sua rappresentazione decimale `e del tipo z = ˜ k0,˜ k1˜ k2···˜ krkr+1···. Quindi z < y e questo `e assurdo perch`e y ∈ A e z ∈ A+. Quindi L deve stare in A+ e quindi `e il minimo di A+. Lo studente pensi a come estendere la dimostrazione di (i) al caso generale. La dimostrazione di (ii) si fa in modo analogo: vale la pena notare che sfruttando la simmetria dell’insieme dei numeri reali rispetto allo 0, si pu`o far discendere (ii) da (i); lasciamo allo studente il compito di formalizzare il procedimento.
Risposte
Se A+0 contiene il minimo di A+, ossia k0, ed ha un altro minimo, dunque contiene un elemento ancora più piccolo di k0, che è l elemento più piccolo di A+, come puo essere che A+ sia soprainsieme di A+0?
Per come `estato costruito `e facile rendersi conto che L ≤ x per ogni x ∈ A+
Perché
Perché
.
Io, invece, non ho capito che cosa hai scritto. Ti riporto uno dei punti del regolamento:
3.8 E' fortemente consigliato scrivere le formule usando il linguaggio MathML o TeX, per facilitare la lettura dei partecipanti e di coloro che si accostano al forum per imparare. Dopo 30 messaggi inseriti, segno di apprezzabile presenza nella comunità, l'uso di tale linguaggio per la scrittura delle formule è obbligatorio.
Se vuoi che qualcuno ti aiuti devi scrivere i messaggi in forma leggibile. Con il tablet quello che hai scritto è illegibile, col computer va un po' meglio, ma ci sono veramente tanti punti incomprensibili.
3.8 E' fortemente consigliato scrivere le formule usando il linguaggio MathML o TeX, per facilitare la lettura dei partecipanti e di coloro che si accostano al forum per imparare. Dopo 30 messaggi inseriti, segno di apprezzabile presenza nella comunità, l'uso di tale linguaggio per la scrittura delle formule è obbligatorio.
Se vuoi che qualcuno ti aiuti devi scrivere i messaggi in forma leggibile. Con il tablet quello che hai scritto è illegibile, col computer va un po' meglio, ma ci sono veramente tanti punti incomprensibili.
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