Non riesco a calcolare il seguente integrale.

[Gainder]

Un saluto a tutto il forum,
mi sono appena iscritto perchè mi sono trovato di fronte al seguente integrale indefinito.

$int sqrt x / (2x + 1) dx$

Sarei molto grato a chi mi illustrasse i passaggi per arrivare alla risoluzione.

[_Tipper]

Poni $t = \sqrt{x}$.

[Gainder]

"Tipper":Poni $t = \sqrt{x}$.

Si questo passaggio l'avevo fatto anch'io e viene:

$int t / (2t^2 + 1) 2t dt = int (2t^2) / (2t^2 + 1)

adesso divido il numeratore per il denominatore giusto?
E mi trovo:

$int 1 dt + int -1/(2t^2 + 1) dt$

Il primo so farlo (almeno questo), ma il secondo non so risolverlo, sembra un'arcotangente ma non so i passaggi esatti...

[Gaal Dornick]

"porta il 2 dentro il quadrato"
$2t^2=(sqrt(2)t)^2$ e da lì arcotangente..

[milady1]

"Gainder": Il primo so farlo (almeno questo), ma il secondo non so risolverlo, sembra un'arcotangente ma non so i passaggi esatti...

seguendo il suggerimento di Gaal Dornick, devi fare in modo di poter applicare

$int (f'(t))/(1+f^2(t))dt=arctgf(t)$

[Gainder]

Quindi posso applicare un'altra sostituzione:

$int 1/( (sqrt(2)t)^2 + 1) dt $

$u = (sqrt(2)t) $
$du = sqrt(2) dt$ dunque:

$1/sqrt(2) int 1/(u^2 + 1) du = 1/sqrt(2) arctg(u) + c = 1/sqrt(2) arctg(sqrt(2)sqrt(x)) +c $

[milady1]

"Gainder":Quindi posso applicare un'altra sostituzione:

La sostituzione va benissimo però, permettimi di farti notare che per applicare direttamente
$int(f'(t))/(1+f^2(t))dt=acrtgf(t)$

ti basta osservare che ti manca solo $sqrt2$ al numeratore per cui

$int 1/( (sqrt(2)t)^2 + 1) dt =1/(sqrt2)int sqrt(2)/( (sqrt(2)t)^2 + 1) dt =1/sqrt2arctg(sqrt2t)$