Non mi viene...

[giulio013]

Buonasera, vorrei capire come fare con questo limite, la radice finisce ed inizia dove iniziano e finiscono le quadre. Il limite tende ad 1:

\( lim x->1 (e^x-e)/(\surd [1+(1-x)]-1) \)

la traccia mi suggerisce di raccogliere la "e" con le proprietà delle potenze ma non so come fare... :/

[pilloeffe]

Ciao giulio0,

Il limite proposto pare il seguente:

$ lim_{x \to 1} frac{e^x - e}{sqrt{1+(1-x)} - 1} $

che è piuttosto semplice. Infatti si ha:

$ lim_{x \to 1} frac{e^x - e}{sqrt{1+(1-x)} - 1} = - lim_{x \to 1} e^x \cdot frac{e^{1 - x} - 1}{sqrt{1+(1-x)} - 1} = $
$ = - lim_{x \to 1} e^x \cdot frac{e^{1 - x} - 1}{1 - x} \cdot frac{1 - x}{sqrt{1+(1-x)} - 1} = $
$ = - lim_{x \to 1} e^x \cdot frac{e^{1 - x} - 1}{1 - x} \cdot frac{1}{frac{sqrt{1+(1-x)} - 1}{1 - x}} = - e \cdot 1 \cdot frac{1}{1/2} = - 2e $

ove si è fatto uso dei limiti notevoli seguenti:

$ lim_{f(x) \to 0} frac{e^{f(x)} - 1}{f(x)} = 1 $

$ lim_{f(x) \to 0} frac{[1+f(x)]^{\alpha} - 1}{f(x)} = \alpha $

con $f(x) := 1 - x $ e $\alpha = 1/2 $

[giulio013]

salve, non ho capito il secondo passaggio su come fate a raccogliere e^x. Sarà una banalità ma non capisco come moltiplicando e^(1-x) * e^x possa darmi e.

[pilloeffe]

Beh, ricordando le proprietà delle potenze è semplice, infatti si ha:

$e^x - e = e^x - e^1 = e^x (1 - frac{e^1}{e^x}) = e^x (1 - e^{1 - x}) = - e^x (e^{1 - x} - 1) $