Non-lipschitzianità di una funzione di due variabili

[Seneca1]

Come posso dimostrare che la funzione $f(t,x) = t * x$ non è localmente lipschitziana rispetto alla seconda variabile uniformemente rispetto alla prima?

Grazie in anticipo.

[gugo82]

Seneca, quella lì è una funzione \(C^\infty\)... Come fa a non essere localmente lipschitziana?!?

[Seneca1]

Infatti qualcosa non tornava... Gh.

Ma allora perché l'equazione differenziale $x'(t) = t * x(t)$ con la condizione iniziale $x(0) = 0$ ammette sia la soluzione $x(t) = t^2/2$ che la soluzione $x(t) = 0$ ? Dove sbaglio?

[Seneca1]

Ah... Argh, mi rispondo da solo... Una soluzione la ottengo, per $x(t) != 0$ separando le variabili. Quindi l'unica soluzione di quel problema di Cauchy è $x(t) = 0$. Giusto?

[gugo82]

La soluzione del tuo problema è quella nulla.
Infatti, tutte le soluzioni della EDO sono del tipo:
\[
x(t)=x_0\ \exp (t^2/2)
\]
con \(x_0\in \mathbb{R}\), e l'unica che soddisfa la condizione \(x(0)=0\) è quella con \(x_0=0\).

Per approfondire, proviamo a "studiare la EDO".
Il termine noto è nella forma \(f(t,x):=t\ x\), ed è definito ovunque e di classe \(C^\infty\) (ed in particolare è loc. lipschitziano); quindi comunque fissi una condizione iniziale \((t_0,x_0)\) esiste un'unico integrale massimale della tua EDO che verifica \(x(t_0)=x_0\).
Tale integrale è una funzione di classe \(C^\infty\), perché puoi fare bootstrap. Invero, esso è \(C^1\) perché \(x^\prime (t)=t\ x(t)\) con \(t\ x(t)\) continua; ma allora, dato che \(t\) è \(C^\infty\), il prodotto \(t\ x(t)\) è derivabile una seconda volta e risulta:
\[
x^{\prime \prime} (t) =x(t)+t\ x^\prime (t)
\]
ed il secondo membro è una funzione continua, sicché \(x(t)\) è \(C^2\); ma allora la funzione \(x(t)+t\ x^\prime (t)\) è derivabile ancora una volta, etc...

Inoltre, si ha \(f(t,x)>0\) [risp. \(<0\), \(=0\)] se \((t,x)\in ]-\infty ,0[^2\cup ]0,+\infty[^2\) [risp. \((t,x)\in ]-\infty ,0[\times ]0,+\infty[ \cup ]0,+\infty[\times ]-\infty ,0[\), \(t=0\) oppure \(x=0\)], quindi gli integrali massimali della tue EDO:

[*:1odupyvk] sono crescenti non appena il loro grafico sta nel primo o nel terzo quadrante;[/*:m:1odupyvk]
[*:1odupyvk] sono decrescenti non appena il loro grafico sta nel secondo o nel quarto quadrante;[/*:m:1odupyvk]
[*:1odupyvk] hanno punti critici lì dove il loro grafico interseca gli assi.[/*:m:1odupyvk][/list:u:1odupyvk]

Il fatto che \(f(t,x)\) sia lineare in \(x\) garantisce che gli integrali massimali della tua EDO sono definiti in tutto \(\mathbb{R}\).

Infine, le soluzioni stazionarie \(x(t)=x^*\) della tua EDO si ottengono in corrispondenza di tutti i valori \(x^*\in \mathbb{R}\) tali che \(f(t,x^*)=0\) per ogni \(t\in \mathbb{R}\); quindi si vede che \(x(t)=0\) è l'unica soluzione stazionaria della tua EDO.

Fatto questo studio, in virtù dell'unicità, puoi ben dire che la soluzione del tuo P.d.C. è l'unica soluzione stazionaria della EDO.

[Seneca1]

Ti ringrazio vivamente per la risposta. Ad ogni modo

"gugo82":esiste un'unico integrale massimale della tua EDO

già qui mi perdo... Cosa si intende per integrale massimale? Sarebbe la soluzione locale "prolungata il più possibile"?

[gugo82]

"Seneca":Ti ringrazio vivamente per la risposta. Ad ogni modo

[quote="gugo82"]esiste un'unico integrale massimale della tua EDO

già qui mi perdo... Cosa si intende per integrale massimale? Sarebbe la soluzione locale "prolungata il più possibile"?[/quote]
Esattamundo.

Se vuoi approfondire un po' le EDO, in prima battuta ti consiglio di dare uno sguardo alle dispense di Berti segnalate qui.

[Seneca1]

Appena ho un attimo di respiro mi dedicherò a quelle dispense. Ti ringrazio ancora.

[sgabryx]

Se invece la funzione fosse:

f(x;y)=$\{(2x, if y>=x^2),((2y)/x, if |y|
come posso dimostrare la non lipschitzianità della funzione in y uniformemente rispetto x? (entrambe definite in R)

[gugo82]

"sgabryx":Se invece la funzione fosse:

f(x;y)=$\{(2x, if y>=x^2),((2y)/x, if |y|
come posso dimostrare la non lipschitzianità della funzione in y uniformemente rispetto x? (entrambe definite in R)

Cosa hai provato?

[sgabryx]

Avevo pensato di verificare se la costante L dipendesse da x, in tal caso non è uniformemente lipschitziana.
E la costante L credo sia legata alla derivata parziale di f rispetto y.
Quindi, se la mia derivata parziale presenta la x allora la funzione non è lipschitziana.

[gugo82]

La funzione è ottenuta raccordando in maniera continua (a parte in $\mathbf{0}=(0,0)$, eventualmente) tre funzioni di classe $C^\infty$ che hanno derivate limitate fuori da $\mathbf{0}$; pertanto, la $f$ è sicuramente lipschitziana rispetto alla $y$ uniformemente rispetto ad $x$ in ogni sottoinsieme del piano $Oxy$ che non contenga un intorno aperto dell'origine (e.g., in $\RR^2\setminus B(\mathbf{0};\epsilon)$ con $\epsilon >0$).

Il problema si pone intorno a $(0,0)$, dunque. Vedi un po' che succede da quelle parti.

[sgabryx]

Ci ragiono un attimo.
Vi farò sapere