Non esistenza di questo limite (verificate il procedimento)
Devo dimostrare che dato
\(\displaystyle f(x,y) = \frac{x^3 + y^3}{x^2+y^4}\)
\(\displaystyle \lim_{(x,y) \to (0,0)}(f(x,y)) \) non esiste
Il mio libro adotta una strada un po' lunga, perchè trova che il limite tende a 0 per qualsiasi retta passante per l'origine, e quindi trova una curva per la quale il limite non fa 0. Io l'avevo pensato così, verificate se sbaglio qualcosa, anche perchè mi sembra strano che sia giusta se è cosi semplice.
Mi restringo all'asse y, con
\(\displaystyle f(0,y) = \frac{y^3}{y^4} = \frac{1}{y} \). Lungo questa restrizione il limite fa \(\displaystyle +\infty \) se \(\displaystyle y \to 0^+ \) e \(\displaystyle -\infty \) se \(\displaystyle y \to 0^- \). Dunque lungo questa restrizione il limite non esiste, e quindi in generale il limite della funzione non esiste.
E' giusto? Non è sufficiente trovare una restrizione per la quale il limite non esiste per concludere che il limite della funzione non esiste?
\(\displaystyle f(x,y) = \frac{x^3 + y^3}{x^2+y^4}\)
\(\displaystyle \lim_{(x,y) \to (0,0)}(f(x,y)) \) non esiste
Il mio libro adotta una strada un po' lunga, perchè trova che il limite tende a 0 per qualsiasi retta passante per l'origine, e quindi trova una curva per la quale il limite non fa 0. Io l'avevo pensato così, verificate se sbaglio qualcosa, anche perchè mi sembra strano che sia giusta se è cosi semplice.
Mi restringo all'asse y, con
\(\displaystyle f(0,y) = \frac{y^3}{y^4} = \frac{1}{y} \). Lungo questa restrizione il limite fa \(\displaystyle +\infty \) se \(\displaystyle y \to 0^+ \) e \(\displaystyle -\infty \) se \(\displaystyle y \to 0^- \). Dunque lungo questa restrizione il limite non esiste, e quindi in generale il limite della funzione non esiste.
E' giusto? Non è sufficiente trovare una restrizione per la quale il limite non esiste per concludere che il limite della funzione non esiste?
Risposte
Ciao!
Io sono molto d'accordo con la parte finale del post,
anche se potrebbe lasciare il dubbio che la funzione sia infinitamente grande nell'origine:
ma tanto lo risolviamo restringendo a $vecx$.
Saluti dal web.
Io sono molto d'accordo con la parte finale del post,
anche se potrebbe lasciare il dubbio che la funzione sia infinitamente grande nell'origine:
ma tanto lo risolviamo restringendo a $vecx$.
Saluti dal web.
Sì, basta considerare la restrizione all'asse $y$ per concludere che il limite non esiste.
Grazie!
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