Non esistenza di limiti.

[Kashaman]

Come esercizio , ho provato a mostrare che
Non esiste $lim_{x->+\infty} (x/(x+1))*cos(x^2)$.

Faccio Uso del seguente teorema :
Sia $f : A -> RR$ , $x_0 \in Dr(A)$ e supponiamo che $lim_(x->x_0)f(x)=l$
Supponiamo che $EE (x_n)_(n \in NN) \: x_n \in A , x_n !=x_0 \: t.c x_n -> x_0 \: per \: n -> +\infty$. Allora $lim_nf(x_n)=l$

Considero due successioni del tipo $x_n = sqrt(\pi k) , k \in \mathbb{N}$ ed $y_n = sqrt((\pi/2)k) , k \in \mathbb{N}$.
Sia $x_n -> +\infty$ per $k->+\infty$ che $y_n -> +\infty$ per $k -> +\infty$.
Ho che $f(x_n) =- sqrt(\pi k) / (sqrt(\pi k) +1)$ , $f(y_n) = 0$
Per $k -> +\infty$ ho da una parte che
$f(x_n) -> -1$ dall'altra $f(y_n)->0$ ,
Violendo cosi l'unicità del limite dettata dal teorema precedente.


Può andare? Grazie mille

[Stefano931]

Beh si non vedo perchè non possa andare. Stavo anche pensando che, detto in un linguaggio poco formale e molto terra terra, quando x tende ad infinito il rapporto x/(x+1) si approssima ad 1 mentre la funzione cos(x^2) non ha limite in quanto continua ad oscillare tra -1 ed 1. Quindi moltiplicando le due e passando al limite questo non esiste perchè si ottiene di nuovo una funzione che all'infinito oscilla tra tali valori.
Scuso il ragionamento grezzo, da fisico quale sono