Non esistenza della derivata
Perché la derivata della seguente funzione calcolata nel punto $x=0$ non esiste??
$f(x)={(x^2+2 per x<0),(x^3+x^2+1 per x>=0):}$
$f(x)={(x^2+2 per x<0),(x^3+x^2+1 per x>=0):}$
Risposte
Secondo te quella funzione è continua in zero?
No .. però ti porto un altro esempio
$f(x)={(x per x<0),(x^3+x>=0 per x>=0):}$ il testo mi dice che è derivabile in $x=0$, mentre
$f(x)={(x^2 per x<0),(x^3+x>=0 per x>=0):}$ mi dice che non è derivabile in tale punto ..
$f(x)={(x per x<0),(x^3+x>=0 per x>=0):}$ il testo mi dice che è derivabile in $x=0$, mentre
$f(x)={(x^2 per x<0),(x^3+x>=0 per x>=0):}$ mi dice che non è derivabile in tale punto ..
Questi esempi sono un altra faccenda ancora...
il testo ha ragione, infatti la derivata destra e sinistra nel primo esempio sono uguali e pari ad $1$, mentre nel secondo esempio la derivata sinistra è pari a $0$ mentre la derivata destra è pari ad $1$....
il testo ha ragione, infatti la derivata destra e sinistra nel primo esempio sono uguali e pari ad $1$, mentre nel secondo esempio la derivata sinistra è pari a $0$ mentre la derivata destra è pari ad $1$....
Guarda io le derivate destre e sinistre del primo esempio le ho risolte così:
$\lim(x\to 0^-)(0+h-0)/h=1$ e $\lim(x\to 0^+)(0+h-0)/h=1$
Mentre per quanto riguarda le derivate destre e sinistre del secondo esempio non mi trovo con i risultati che hai scritto tu .. potresti farmi vedere come le risolvi?
$\lim(x\to 0^-)(0+h-0)/h=1$ e $\lim(x\to 0^+)(0+h-0)/h=1$
Mentre per quanto riguarda le derivate destre e sinistre del secondo esempio non mi trovo con i risultati che hai scritto tu .. potresti farmi vedere come le risolvi?
A parte che in questo caso non è necessario applicare la definizione di derivata perché i limiti destri e sinistri esistono, però te lo faccio vedere in tutti e due i modi...
Allora il modo più veloce è calcolare le derivate delle due espressioni e farne il limite per $x\to 0$ , in "formule":
$$
f(x)=\begin{cases}g(x) \, & \, \, se \,\,\, x<0 \\ h(x) \, &\, \, se \,\,\, x\geq 0\end{cases}
$$
siano $g'(x)$ e $h'(x)$ le derivate delle due espressioni che compongono $f$ allora ammesso che esistano i limiti
$$
\lim_{x\to 0^-}g'(x)=k
\\
\lim_{x\to 0^+}h'(x)=l
$$
allora la funzione è derivabile in zero se e solo se $k=l$
Applichiamo questo metodo ai tuoi esempi, per il primissimo esempio non c'è nemmeno da discutere perché la funzione non è continua nell'origine, per cui passiamo agli altri due esempi.
Nel primo caso $g(x)=x$ e $h(x)=x^3+x$ per cui $g'(x)=1$ e $h'(x)=3x^2+1$ e chiaramente i limiti in zero valgono entrambi $1$ .
Nel secondo caso $g(x)=x^2$ e $h(x)=x^3+x$ per cui $g'(x)=2x$ e $h'(x)=3x^2+1$ e chiaramente $g'\to 0$ mentre $h'\to1$ quindi i limiti sono diversi per cui la derivata non esiste...
Ora giusto per scrupolo risolviamoli con la definizione, ovvero :
$$
f'_{-}(0)=\lim_{x\to 0^-}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim_{x\to 0^-}\frac{g(x)-f(0)}{x-0}
\\
f'_{+}(0)0=\lim_{x\to 0^+}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim_{x\to 0^+}\frac{h(x)-f(0)}{x-0}
$$
ora sia nel primo che nel secondo esempio chiaramente $f(0)=0$ , scriviamo i limiti, nel primo esempio abbiamo:
$$
f'_{-}(0)=\lim_{x\to 0^-}\frac{x}{x}=1
\\
f'_{+}(0)0=\lim_{x\to 0^+}\frac{x^3+x}{x}=\lim_{x\to 0^+}x^2+1=1
$$
Nel secondo esempio abbiamo invece
$$
f'_{-}(0)=\lim_{x\to 0^-}\frac{x^2}{x}=\lim_{x\to 0^-}x=0
\\
f'_{+}(0)0=\lim_{x\to 0^+}\frac{x^3+x}{x}=\lim_{x\to 0^+}x^2+1=1
$$
Allora il modo più veloce è calcolare le derivate delle due espressioni e farne il limite per $x\to 0$ , in "formule":
$$
f(x)=\begin{cases}g(x) \, & \, \, se \,\,\, x<0 \\ h(x) \, &\, \, se \,\,\, x\geq 0\end{cases}
$$
siano $g'(x)$ e $h'(x)$ le derivate delle due espressioni che compongono $f$ allora ammesso che esistano i limiti
$$
\lim_{x\to 0^-}g'(x)=k
\\
\lim_{x\to 0^+}h'(x)=l
$$
allora la funzione è derivabile in zero se e solo se $k=l$
Applichiamo questo metodo ai tuoi esempi, per il primissimo esempio non c'è nemmeno da discutere perché la funzione non è continua nell'origine, per cui passiamo agli altri due esempi.
Nel primo caso $g(x)=x$ e $h(x)=x^3+x$ per cui $g'(x)=1$ e $h'(x)=3x^2+1$ e chiaramente i limiti in zero valgono entrambi $1$ .
Nel secondo caso $g(x)=x^2$ e $h(x)=x^3+x$ per cui $g'(x)=2x$ e $h'(x)=3x^2+1$ e chiaramente $g'\to 0$ mentre $h'\to1$ quindi i limiti sono diversi per cui la derivata non esiste...
Ora giusto per scrupolo risolviamoli con la definizione, ovvero :
$$
f'_{-}(0)=\lim_{x\to 0^-}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim_{x\to 0^-}\frac{g(x)-f(0)}{x-0}
\\
f'_{+}(0)0=\lim_{x\to 0^+}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim_{x\to 0^+}\frac{h(x)-f(0)}{x-0}
$$
ora sia nel primo che nel secondo esempio chiaramente $f(0)=0$ , scriviamo i limiti, nel primo esempio abbiamo:
$$
f'_{-}(0)=\lim_{x\to 0^-}\frac{x}{x}=1
\\
f'_{+}(0)0=\lim_{x\to 0^+}\frac{x^3+x}{x}=\lim_{x\to 0^+}x^2+1=1
$$
Nel secondo esempio abbiamo invece
$$
f'_{-}(0)=\lim_{x\to 0^-}\frac{x^2}{x}=\lim_{x\to 0^-}x=0
\\
f'_{+}(0)0=\lim_{x\to 0^+}\frac{x^3+x}{x}=\lim_{x\to 0^+}x^2+1=1
$$
Ok perfetto ho capito tutto quello che hai detto.. un ultima cosa e non ti disturbo più!
Come faccio a capire se funzioni di questo tipo sono continue o meno in x=0, esempio:
$f(x)={(x^2+2 per x<0),(x^3+x^2+1 per x>=0):}$ Non è continua
$f(x)={(x per x<0),(x^3+x per x>=0):}$ è continua
Come faccio a capire se funzioni di questo tipo sono continue o meno in x=0, esempio:
$f(x)={(x^2+2 per x<0),(x^3+x^2+1 per x>=0):}$ Non è continua
$f(x)={(x per x<0),(x^3+x per x>=0):}$ è continua
è anche più semplice di prima, devi confrontare i limiti delle due espressioni che compongono $f$, se sono uguali è continua altrimenti no, in "formule":
$$
f(x)=\begin{cases}g(x) \, & \, \, se \,\,\, x<0 \\ h(x) \, &\, \, se \,\,\, x\geq 0\end{cases}
$$
Supponiamo esistano i seguenti limiti
$$
\lim_{x\to 0^-}g(x)=k
\\
\lim_{x\to 0^+}h(x)=l
$$
allora la funzione è continua in zero se e solo se $k=l$
Nel caso anche solo uno dei due limiti non esista allora la funzione non è comunque continua.
Per quest ultima frase ho detto che è anche più semplice perché prima con le derivate se i limiti non esistevano non è detto che la funzione non sia derivabile semplicemente devi sbatterti di più e applicare le definizioni di derivabilità.
Nel caso della continuità invece concludi subito.
Prova a fare i limiti per i due esempi e vedi se ti torna =)
$$
f(x)=\begin{cases}g(x) \, & \, \, se \,\,\, x<0 \\ h(x) \, &\, \, se \,\,\, x\geq 0\end{cases}
$$
Supponiamo esistano i seguenti limiti
$$
\lim_{x\to 0^-}g(x)=k
\\
\lim_{x\to 0^+}h(x)=l
$$
allora la funzione è continua in zero se e solo se $k=l$
Nel caso anche solo uno dei due limiti non esista allora la funzione non è comunque continua.
Per quest ultima frase ho detto che è anche più semplice perché prima con le derivate se i limiti non esistevano non è detto che la funzione non sia derivabile semplicemente devi sbatterti di più e applicare le definizioni di derivabilità.
Nel caso della continuità invece concludi subito.
Prova a fare i limiti per i due esempi e vedi se ti torna =)
Troppo gentile! Mi hai migliorato la giornata..
Grazie ancora e buona Domenica!!
Grazie ancora e buona Domenica!!
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo