Non capisco un passaggio in una derivazione
Ho un dubbio nel calcolo di una derivata parziale della funzione generatrice dei polinomi di hermite:
$ ((del^nS)/(delS^n))_(s->0)=((del^n e^(epsi^2-(s-epsi)^2))/(dels^n))_(s->0)=e^(epsi^2)((del^n e^(-(s-epsi)^2))/(del(s-epsi)^n))_(s->0)=e^(epsi^2)(-1)^n((del^n e^(-(s-epsi)^2))/(del epsi^n))_(s->0)=(-1)^n e^(epsi^2)*(d^n e^(-epsi^2))/(d epsi^n) $
In pratica non capisco perche al denominatore nel secondo passaggio da $del s^n $ e passato a $ del(s-epsi)^2 $ e sempre perchè poi da questa ultima espressione è passato a $ del epsi^n $ ,sempre a denominatore...
qualcuno mi puo far chiarezza sul passaggio matematico che ci sta dietro?
se occorre per maggior chiarezza dò anche il link di tale procedimento : http://www.theochem.unito.it/didattica/ ... /oscil.pdf
si trova alla pagina 9
grazie
$ ((del^nS)/(delS^n))_(s->0)=((del^n e^(epsi^2-(s-epsi)^2))/(dels^n))_(s->0)=e^(epsi^2)((del^n e^(-(s-epsi)^2))/(del(s-epsi)^n))_(s->0)=e^(epsi^2)(-1)^n((del^n e^(-(s-epsi)^2))/(del epsi^n))_(s->0)=(-1)^n e^(epsi^2)*(d^n e^(-epsi^2))/(d epsi^n) $
In pratica non capisco perche al denominatore nel secondo passaggio da $del s^n $ e passato a $ del(s-epsi)^2 $ e sempre perchè poi da questa ultima espressione è passato a $ del epsi^n $ ,sempre a denominatore...
qualcuno mi puo far chiarezza sul passaggio matematico che ci sta dietro?
se occorre per maggior chiarezza dò anche il link di tale procedimento : http://www.theochem.unito.it/didattica/ ... /oscil.pdf
si trova alla pagina 9
grazie
Risposte
"xshadow":
Ho un dubbio nel calcolo di una derivata parziale della funzione generatrice dei polinomi di hermite:
$ ((del^nS)/(delS^n))_(s->0)=((del^n e^(epsi^2-(s-epsi)^2))/(dels^n))_(s->0)=e^(epsi^2)((del^n e^(-(s-epsi)^2))/(del(s-epsi)^n))_(s->0)=e^(epsi^2)(-1)^n((del^n e^(-(s-epsi)^2))/(del epsi^n))_(s->0)=(-1)^n e^(epsi^2)*(d^n e^(-epsi^2))/(d epsi^n) $
Ciao, intanto il fatto che $s$ tende a zero lo usi solo nell'ultimo passaggio.
Ragioniamo con le derivate prime per semplicità. Se consideri una funzione $f(x)$, puoi vedere facilmente che derivare rispetto a $x$ o rispetto a $x-y$, dove $y$ è assunto costante, è lo stesso. Questo semplicemente per il fatto che se scrivi il rapporto incrementale vedi subito che nel secondo caso, al denominatore, hai $(x-y)-(x_0-y)$ ovvero $x-x_0$.
Nel tuo caso, hai la funzione $f:x : to e^{-x^2}$, e stai considerando $f(s-epsilon)=e^{-(s-epsilon)^2}$. Il secondo passaggio è quello che dicevo prima, derivare rispetto all'argomento o derivare rispetto all'argomento traslato è la stessa cosa (stiamo vedendo $epsilon$ costante). Ma se ora la funziona la penso come dipendente da $epsilon$ soltanto, allora $s$ diventa costante e quindi derivare rispetto a $s-epsilon$ è come derivare rispetto a $-epsilon$. Ma la derivata rispetto a $-epsilon$ passa a quella rispetto a $epsilon$ cambiando segno al tutto. Nell'ultimo passaggio la $s$ scompare perchè la mandi a $0$.
Ti torna? Ciao!
penso di aver capito cosa intendi...
anche se io l'espressione al denominatore $ del (s-epsi)^n $ la interpretavo come una derivata n-esima rispetto all'" incognita"
$ z=(s-epsi) $ ---è sbagliato ?
se la interpreto cosi e faccio la derivata prima(per semplicità ,visto che trattandosi di una funzione esponenziale non cambierebbe la sostanza),sperando di non aver sbagliato i conti ho:
$ (del e^(-(s-epsi)^2))/(del(s-epsi))=e^(-(s-epsi)^2)*(-2(s-epsi)) $
se ora faccio la stessa derivazione derivando rispetto a z=s,cioè $ dels $
ottengo:
$ (del e^(-(s-epsi)^2))/(del(s))=e^(-(s-epsi)^2)*(-2(s-epsi)) $
che è lo stesso risultato...puo essere questa anche una verifica(certo piu terra terra) della bontà delle due eguaglianze?
anche se io l'espressione al denominatore $ del (s-epsi)^n $ la interpretavo come una derivata n-esima rispetto all'" incognita"
$ z=(s-epsi) $ ---è sbagliato ?
se la interpreto cosi e faccio la derivata prima(per semplicità ,visto che trattandosi di una funzione esponenziale non cambierebbe la sostanza),sperando di non aver sbagliato i conti ho:
$ (del e^(-(s-epsi)^2))/(del(s-epsi))=e^(-(s-epsi)^2)*(-2(s-epsi)) $
se ora faccio la stessa derivazione derivando rispetto a z=s,cioè $ dels $
ottengo:
$ (del e^(-(s-epsi)^2))/(del(s))=e^(-(s-epsi)^2)*(-2(s-epsi)) $
che è lo stesso risultato...puo essere questa anche una verifica(certo piu terra terra) della bontà delle due eguaglianze?
Sì tutto giusto. Se ci pensi bene, stai solo applicando la derivazione delle funzioni composte: infatti $f(s-epsilon)$ la puoi vedere come $f(z(s))$, dove $z(s)=s-epsilon$. Derivando hai $g'(s)f'(g(s))=1 cdot f'(s-epsilon)=f'(s-epsilon)$ proprio perché $(s-epsilon)'=1$.
Quello che sta facendo lui è giocare col fatto che siccome l'argomento è $s-epsilon$, allora applicando questo ragionamento puoi vedere la derivata alternativamente come una derivata rispetto a $s-epsilon$, $s$ oppure $-epsilon$.
Moralmente, capisci bene che la derivata ti spia le pendenza, quindi misurare quando pende una funzione in rapporto ad $s$ o di una sua quantità traslata $s-epsilon$ non può che dare lo stesso risultato.
Quello che sta facendo lui è giocare col fatto che siccome l'argomento è $s-epsilon$, allora applicando questo ragionamento puoi vedere la derivata alternativamente come una derivata rispetto a $s-epsilon$, $s$ oppure $-epsilon$.
Moralmente, capisci bene che la derivata ti spia le pendenza, quindi misurare quando pende una funzione in rapporto ad $s$ o di una sua quantità traslata $s-epsilon$ non può che dare lo stesso risultato.
ok,grazie mille per il chiarimento
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