Non capisco le soluzione di equazioni differenziali
Dovevo risolvere il seguente sistema:
[tex]\displaystyle \begin{cases} z_1'=z_2-z_3\\ z_2'=2z_1+z_2+6z_3\\z_3'=z_2-z_3\end{cases}[/tex]
Indicando con [tex]\varphi[/tex] la soluzione generale ottengo che, è giusto:
[tex]\displaystyle \varphi(t) = c_1\left(\begin{matrix} 7\\-2\\-2 \end{matrix}\right) + c_2\left(\begin{matrix} 1\\4\\1 \end{matrix}\right)e^{3t}+c_3\left(\begin{matrix} -1\\2\\-1 \end{matrix}\right)e^{-3t}[/tex]
Quello che voglio sapere io è: in che senso [tex]\varphi(t)[/tex] è soluzione? cioè: che cosa risolve? Sostituendo che cosa nel sistema ottengo un'identità?
[tex]\displaystyle \begin{cases} z_1'=z_2-z_3\\ z_2'=2z_1+z_2+6z_3\\z_3'=z_2-z_3\end{cases}[/tex]
Indicando con [tex]\varphi[/tex] la soluzione generale ottengo che, è giusto:
[tex]\displaystyle \varphi(t) = c_1\left(\begin{matrix} 7\\-2\\-2 \end{matrix}\right) + c_2\left(\begin{matrix} 1\\4\\1 \end{matrix}\right)e^{3t}+c_3\left(\begin{matrix} -1\\2\\-1 \end{matrix}\right)e^{-3t}[/tex]
Quello che voglio sapere io è: in che senso [tex]\varphi(t)[/tex] è soluzione? cioè: che cosa risolve? Sostituendo che cosa nel sistema ottengo un'identità?
Risposte
$\varphi(t)=(z_1(t),z_2(t),z_3(t))$ risolve il sistema dato.
io vorrei sapere chi sono [tex]z_1(t), z_2(t), z_3(t)[/tex]
Nella tua soluzione $z_1(t)=7c_1+c_2e^{3t}-c_3e^{-3t}$. Le altre sono analoghe.
Ok, quindi
[tex]z_1(t) = 7c_1+c_2e^{3t}-c_3e^{-3t}[/tex]
Mentre [tex]z_2(t) = -2c_1+4c_2e^{3t}+2c_3e^{-3t}[/tex], oppure sempre [tex]z_1(t) = -2c_1+4c_2e^{3t}+2c_3e^{-3t}[/tex] (come mi sembra più logico, per certi [tex]c_1,c_2,c_3[/tex])?
[tex]z_1(t) = 7c_1+c_2e^{3t}-c_3e^{-3t}[/tex]
Mentre [tex]z_2(t) = -2c_1+4c_2e^{3t}+2c_3e^{-3t}[/tex], oppure sempre [tex]z_1(t) = -2c_1+4c_2e^{3t}+2c_3e^{-3t}[/tex] (come mi sembra più logico, per certi [tex]c_1,c_2,c_3[/tex])?
$z_2$ è riferita alla seconda riga, quindi è corretta la prima che hai detto.
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