Non capisco il testo di questo esercizio:
Esercizio
Sia data la funzione $f(t)=tsqrt(t)$ definita per ogni $tinA=[0,+oo)$
La funzione $F(x,y)= (f(x)-f(y))/(x-y)$
è definita per ogni $(x,y)inAxxA$ con $xney$
Dire se F è estendibile con continuità a tutto l'insieme $AxxA$ e in caso affermativo determinare il suo valore nei punti ci $AxxA$ tali che $x=y$
Il professore non ha fatto esempi sullo svolgimento di questo tipo di esercizi, li ha semplicemente messi tra gli esercizi sulle dispense, e non riesco a capire che cosa chiede questo esercizio, e in che modo interpretare i dati di partenza... Che c'entra $f(t)$ se poi mi fa domande su $F(x,y)$???????
Qualcuno potrebbe illuminarmi??
Sia data la funzione $f(t)=tsqrt(t)$ definita per ogni $tinA=[0,+oo)$
La funzione $F(x,y)= (f(x)-f(y))/(x-y)$
è definita per ogni $(x,y)inAxxA$ con $xney$
Dire se F è estendibile con continuità a tutto l'insieme $AxxA$ e in caso affermativo determinare il suo valore nei punti ci $AxxA$ tali che $x=y$
Il professore non ha fatto esempi sullo svolgimento di questo tipo di esercizi, li ha semplicemente messi tra gli esercizi sulle dispense, e non riesco a capire che cosa chiede questo esercizio, e in che modo interpretare i dati di partenza... Che c'entra $f(t)$ se poi mi fa domande su $F(x,y)$???????
Qualcuno potrebbe illuminarmi??
Risposte
$f(t)$ serve per definire come $f(x)$ e $f(y)$ sono strutturate - basta andare a sostituire a $t$ rispettivamente $x$ e $y$. La funzione che dovrai studiare è quindi:
$F(x,y)=(f(x)-f(y))/(x-y)=(xsqrtx-ysqrty)/(x-y)$
E che devo fare per vedere se è estendibile con continuità in quell'insieme? mi basta sapere i passi da compiere..
Penso che devi fare il limite della $ F(x,y) $ per $ (x-y)rarr 0, $ , cioè il limite di una funzione di una sola variabile, e se esiste, dare alla $ F $ per $ x=y $ il valore del limite (questa è la continuità)
Ma non è che c'entra qualcosa questo teorema???
Teorema
Sia $kinR^n$ un insieme compatto e sia $f:K->R^m$ una funzione continua, allora anche $f(K)$ è un insieme compatto.
Teorema
Sia $kinR^n$ un insieme compatto e sia $f:K->R^m$ una funzione continua, allora anche $f(K)$ è un insieme compatto.
Francamente non vedo che cosa c'entri il teorema di Weierstrass con l'esercizio proposto. Sicuro di aver studiato e compreso bene i concetti di continuita', derivabilita' e differenziabilita'?
Non credo proprio, tanto più che il tuo insieme $ Axx Asub R^2 $ non è compatto, è illimitato.
L'esercizio ti chiede di trovare, se esiste, il limite per $ x=y $ , e nel caso esiste, porre uguale a quel limite la funzione per $ x=y $ .
Teoremi non sono coinvolti, solo la definizione di continuità.
L'esercizio ti chiede di trovare, se esiste, il limite per $ x=y $ , e nel caso esiste, porre uguale a quel limite la funzione per $ x=y $ .
Teoremi non sono coinvolti, solo la definizione di continuità.
Quella proposizione è "famosa",Fabio(alcuni la attribuiscono ad un certo Weierstrass 
),
ma non mi pare possa esserti utile nel tuo caso(come d'altronde la sua contronominale..):
il tuo dominio non è infatti compatto nè "compattificabile",
perché non è chiuso(ma questo è un problema in effetti fa poco,per quanto riguarda l'eventuale prolungata per continuità..)
nè limitato(e quì però non c'è nulla fa fare neanche nel better case..)!
Ha ragione Gabriella:
hai provato a calcolare il limite della tua funzione in un qualunque punto della bisettrice del primo e terzo quadrante?
Saluti dal web.
),ma non mi pare possa esserti utile nel tuo caso(come d'altronde la sua contronominale..):
il tuo dominio non è infatti compatto nè "compattificabile",
perché non è chiuso(ma questo è un problema in effetti fa poco,per quanto riguarda l'eventuale prolungata per continuità..)
nè limitato(e quì però non c'è nulla fa fare neanche nel better case..)!
Ha ragione Gabriella:
hai provato a calcolare il limite della tua funzione in un qualunque punto della bisettrice del primo e terzo quadrante?
Saluti dal web.
Perdonatemi ho detto una fesseria!
Cmq si ho guardato quanto fa il limite (ho guardato solo sul primo quadrante perchè è li che chiede se è estendibile con continuità) e sulla bisettrice del primo quadrante il limite fa $3/2sqrt(x)$. Quindi concludo che è estendibile con contunuità ed il suo valore sulla bisettrice vale $3/2sqrt(x)$ ?
E nel caso mi fossi trovato che il limite valeva $+oo$ o $-oo$? Avrei potuto dire che la funzione era estendibile con continuità e il suo valore valeva $+-oo$ ????
Cmq si ho guardato quanto fa il limite (ho guardato solo sul primo quadrante perchè è li che chiede se è estendibile con continuità) e sulla bisettrice del primo quadrante il limite fa $3/2sqrt(x)$. Quindi concludo che è estendibile con contunuità ed il suo valore sulla bisettrice vale $3/2sqrt(x)$ ?
E nel caso mi fossi trovato che il limite valeva $+oo$ o $-oo$? Avrei potuto dire che la funzione era estendibile con continuità e il suo valore valeva $+-oo$ ????
Che poi ora che lo guardo meglio non è altro che il limite di un rapporto incrementale e praticamente mi sta facendo calcolare il valore della derivata sui punti della bisettrice...
"Fabio882":
E nel caso mi fossi trovato che il limite valeva $+oo$ o $-oo$? Avrei potuto dire che la funzione era estendibile con continuità e il suo valore valeva $+-oo$ ????
"Fabio882":
Che poi ora che lo guardo meglio non è altro che il limite di un rapporto incrementale e praticamente mi sta facendo calcolare il valore della derivata sui punti della bisettrice...
Alla luce di queste due domande e della successiva affermazione temo che tu non abbia compreso affatto il concetto di continuità...
1. Se $lim_(mathbfx -> mathbf(x_0)) f(mathbfx)=pm oo$, come può $f(mathbfx)$ essere continua in $mathbf(x_0)$? Dalle funzioni a una variabile dovresti sapere che se $lim_(x->x_0)f(x)=pm oo$ allora $f(x)$ non può essere ivi continua: analogamente succede per le funzioni a più variabili.
2. Devi studiare la continuità di $F(x,y)$... cosa c'entra la derivabilità?
Cmq si ho guardato quanto fa il limite (ho guardato solo sul primo quadrante perchè è li che chiede se è estendibile con continuità) e sulla bisettrice del primo quadrante il limite fa $3/2sqrt(x)$. Quindi concludo che è estendibile con contunuità ed il suo valore sulla bisettrice vale $3/2sqrt(x)$ $ +oo $
E nel caso mi fossi trovato che il limite valeva $+oo$ o $-oo$? Avrei potuto dire che la funzione era estendibile con continuità e il suo valore valeva $+-oo$ ????[/quote]
Come hai trovato quel limite? Fissando la x? Mah, temo che non vada bene, così hai trovato il limite in una sola direzione. (Avevo detto di trovare il limite per $ (x-y)rarr 0 $ , ma nel tuo caso non si riesce a isolare $ (x-y) $, non va bene, scusa ).
Secondo me dovrebbe essere: $ lim_((x,y) -> (x_0,x_0) )(xsqrt(x )-ysqrt(y))/ (x-y) $ con $ x_0 $ qualunque fissato.
Spero di non fare confusione, ma è per capire.
Nel caso il limite fosse $ +oo $ , assolutamente no! Non puoi porre F= $ +oo $! La F è una funziome a valori in R, in R non c'è $ +oo $ ( $ +oo $ c'è in R esteso).
E nel caso mi fossi trovato che il limite valeva $+oo$ o $-oo$? Avrei potuto dire che la funzione era estendibile con continuità e il suo valore valeva $+-oo$ ????[/quote]
Come hai trovato quel limite? Fissando la x? Mah, temo che non vada bene, così hai trovato il limite in una sola direzione. (Avevo detto di trovare il limite per $ (x-y)rarr 0 $ , ma nel tuo caso non si riesce a isolare $ (x-y) $, non va bene, scusa ).
Secondo me dovrebbe essere: $ lim_((x,y) -> (x_0,x_0) )(xsqrt(x )-ysqrt(y))/ (x-y) $ con $ x_0 $ qualunque fissato.
Spero di non fare confusione, ma è per capire.
Nel caso il limite fosse $ +oo $ , assolutamente no! Non puoi porre F= $ +oo $! La F è una funziome a valori in R, in R non c'è $ +oo $ ( $ +oo $ c'è in R esteso).
Ho fissato $t=x-y$ e ho calcolato
$lim_(t->0) ((t+y)sqrt(t+y)-ysqrt(y))/t$
e svolgendolo mi viene quel valore... non va bene?
$lim_(t->0) ((t+y)sqrt(t+y)-ysqrt(y))/t$
e svolgendolo mi viene quel valore... non va bene?
"Brancaleone":
[quote="Fabio882"]E nel caso mi fossi trovato che il limite valeva $+oo$ o $-oo$? Avrei potuto dire che la funzione era estendibile con continuità e il suo valore valeva $+-oo$ ????
"Fabio882":
Che poi ora che lo guardo meglio non è altro che il limite di un rapporto incrementale e praticamente mi sta facendo calcolare il valore della derivata sui punti della bisettrice...
Alla luce di queste due domande e della successiva affermazione temo che tu non abbia compreso affatto il concetto di continuità...
1. Se $lim_(mathbfx -> mathbf(x_0)) f(mathbfx)=pm oo$, come può $f(mathbfx)$ essere continua in $mathbf(x_0)$? Dalle funzioni a una variabile dovresti sapere che se $lim_(x->x_0)f(x)=pm oo$ allora $f(x)$ non può essere ivi continua: analogamente succede per le funzioni a più variabili.
2. Devi studiare la continuità di $F(x,y)$... cosa c'entra la derivabilità?[/quote]
1.Hai ragione dovevo riguardarmi il concetto di contunuità
2.No avevo semplicemente notato che per come è posto l'esercizio, e per come ho cercato di svolgerlo io, mi ritrovavo a fare un limite di un rapporto incrementale il cui valore è quello della derivata. Non dico che c'entri qualcosa.. Ho piuttosto pensato che il prof ci ha messo questo esercizio per introdurci al prossimo argomento che sono appunto le derivate in più variabili.
@Fabio882: l'osservazione che hai fatto sul rapporto incrementale è invece molto pertinente e corretta. Vedi un po' se questo ti può essere utile.
[quote=Fabio882]Ho fissato $t=x-y$ e ho calcolato
$lim_(t->0) ((t+y)sqrt(t+y)-ysqrt(y))/t$
e svolgendolo mi viene quel valore... non va bene ?
Mah, resto dubbiosa, è come se facessi il limite tenendo y fisso, quindi fissi una direzione... Per spiegarmi ti posto un esempio simile (l'ho preso da Marcellini-Sbordone, non l'ho fatto io):
"Estendere con continuità a tutto $ R^2 $ , se possibile, la funzione:
$ f(x,y)= (sen(2x-2y))/(x-y) $
La funzione è definita in tutto $ R^2 $ , tranne per x=y.
Ponendo $ x-y=t $
$ lim_(x -> 0)(sen2t)/t=2 $
in base al limite di funzione di una variabile t. E' quindi possibile estendere con continuita la f a tutto $ R^2 $ ponendo $ f(x,y)=2 $ per x=y." Fin qui Marcellini-Sbordone
La differenza tra questo esempio e il nostro è che in questo x e y spariscono e la funzione dipende solo da t=x-y, e non da x e y separatamente. Invece nel tuo limite ti trovi t e anche y, che tratti come fissato.
$lim_(t->0) ((t+y)sqrt(t+y)-ysqrt(y))/t$
e svolgendolo mi viene quel valore... non va bene ?
Mah, resto dubbiosa, è come se facessi il limite tenendo y fisso, quindi fissi una direzione... Per spiegarmi ti posto un esempio simile (l'ho preso da Marcellini-Sbordone, non l'ho fatto io):
"Estendere con continuità a tutto $ R^2 $ , se possibile, la funzione:
$ f(x,y)= (sen(2x-2y))/(x-y) $
La funzione è definita in tutto $ R^2 $ , tranne per x=y.
Ponendo $ x-y=t $
$ lim_(x -> 0)(sen2t)/t=2 $
in base al limite di funzione di una variabile t. E' quindi possibile estendere con continuita la f a tutto $ R^2 $ ponendo $ f(x,y)=2 $ per x=y." Fin qui Marcellini-Sbordone
La differenza tra questo esempio e il nostro è che in questo x e y spariscono e la funzione dipende solo da t=x-y, e non da x e y separatamente. Invece nel tuo limite ti trovi t e anche y, che tratti come fissato.
"Fabio882":
2.No avevo semplicemente notato che per come è posto l'esercizio, e per come ho cercato di svolgerlo io, mi ritrovavo a fare un limite di un rapporto incrementale il cui valore è quello della derivata. Non dico che c'entri qualcosa.. Ho piuttosto pensato che il prof ci ha messo questo esercizio per introdurci al prossimo argomento che sono appunto le derivate in più variabili.
Ah ok! Perdonami, avevo capito male: credevo che ti fossi messo a calcolare le derivate parziali di $F(x,y)$
avevo semplicemente notato che per come è posto l'esercizio, e per come ho cercato di svolgerlo io, mi ritrovavo a fare un limite di un rapporto incrementale il cui valore è quello della derivata. Non dico che c'entri qualcosa.. Ho piuttosto pensato che il prof ci ha messo questo esercizio per introdurci al prossimo argomento che sono appunto le derivate in più variabili.[/quote]
Sul fatto che come l'hai svolto hai fatto il limite di un rapporto incrementale hai ragione, non ci piove.
Sul fatto che come l'hai svolto hai fatto il limite di un rapporto incrementale hai ragione, non ci piove.
"gabriella127":[/quote]
[quote="Fabio882"]Ho fissato $t=x-y$ e ho calcolato
$lim_(t->0) ((t+y)sqrt(t+y)-ysqrt(y))/t$
e svolgendolo mi viene quel valore... non va bene ?
Mah, resto dubbiosa, è come se facessi il limite tenendo y fisso, quindi fissi una direzione... Per spiegarmi ti posto un esempio simile (l'ho preso da Marcellini-Sbordone, non l'ho fatto io):
"Estendere con continuità a tutto $ R^2 $ , se possibile, la funzione:
$ f(x,y)= (sen(2x-2y))/(x-y) $
La funzione è definita in tutto $ R^2 $ , tranne per x=y.
Ponendo $ x-y=t $
$ lim_(x -> 0)(sen2t)/t=2 $
in base al limite di funzione di una variabile t. E' quindi possibile estendere con continuita la f a tutto $ R^2 $ ponendo $ f(x,y)=2 $ per x=y." Fin qui Marcellini-Sbordone
La differenza tra questo esempio e il nostro è che in questo x e y spariscono e la funzione dipende solo da t=x-y, e non da x e y separatamente. Invece nel tuo limite ti trovi t e anche y, che tratti come fissato.
Ma in realtà secondo me non sto fissando una direzione... Ho solo cercato di vedere cosa succede sulla retta $x-y=0$ e ponendo $t=x-y$ sto guardando cosa succede sulla retta $t=0$...
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