Non capisco il perchè..

[ale9861]

So che è banalissimo ma io non capisco il perchè di questo risultato:
L'integrale definito della funzione:f(x,y)=radice di (4-x^2) esteso all'intervallo [-2,2] vale 2pi greco...
perchè questo risultato?

[_Tipper]

Penso che la funzione sia $f(x)$, dato che parli di intervallo e compare un'incognita sola, ma posso benissimo sbagliarmi... in ogni caso comincia facendo la sostituzione $x=2sin(t)$.

[fireball1]

La funzione è pari, per cui si ha:
$int_(-2)^2 sqrt(4-x^2) dx = 2 int_0^2 sqrt(4-x^2)dx
e con la sostituzione $x=2sint$ si ottiene $dx=2costdt$
per cui si ha, cambiando gli estremi:
$2 int_0^(pi/2) sqrt(4(1-sin^2t)) *2cost dt= 8 int_0^(pi/2) |cost|*costdt
ma poiché stiamo integrando tra $0$ e $pi/2$
possiamo omettere il modulo e abbiamo
$8 int_0^(pi/2) cos^2t dt
che si calcola facilmente.

Se poi cercavi proprio un motivo valido per affermare
che l'integrale vale $2pi$, allora lo puoi vedere subito:
il grafico della funzione $f(x)=sqrt(4-x^2)$ è una semicirconferenza
di raggio $r=2$, e l'area del semicerchio è $pi/2 r^2=pi/2 * 4=2pi$.

[ale9861]

come faccio a capire quando devo sostituire con sen, cos...??

[fireball1]

Per gli integrali del tipo $int sqrt(a^2-x^2) dx$, $int b/sqrt(a^2-x^2) dx$
con $a,b in RR$ si usa la sostituzione $x=a sint$ (o $x=acost$).

[ale9861]

"fireball":Per gli integrali del tipo $int sqrt(a^2-x^2) dx$, $int b/sqrt(a^2-x^2) dx$
con $a,b in RR$ si usa la sostituzione $x=sint$ (o $x=cost$).

Grazie mille...
purtroppo non ho molti appunti a riguardo e sul libro le cose non sono spiegate in modo abbastanza comprensibile...

[fireball1]

Scusa, volevo dire $x=a*sint$ oppure $x=a*cost$.

[Sk_Anonymous]

a mio avviso l'unica difficoltà degli integrali sta proprio nell'azzeccare la sostituzione giusta, e questo non te lo dice nessun libro ti viene da solo con l'esperienza, quindi fai molti molti esercizi