Nomenclatura operatori in spazi di Hilbert

Innanzitutto, qui si deve pensare all'operatore in forma debole... Quindi, per semplificare un po', prenderò in considerazione degli operatori differenziali più particolari, ossia quelli in forma di divergenza.

Un'operatore differenziale è detto in forma di divergenza se esso* si scrive [tex]$-\text{div} \big( A(x)\cdot \text{D}u(x) \big)$[/tex], ove [tex]$A(x)=\big( a_{i,j}(x)\big)$[/tex] matrice a coefficienti in uno spazio funzionale abbastanza decente (ad esempio [tex]$A\in C(\overline{\Omega} ;\mathbb{R}^{N\times N})$[/tex] oppure anche [tex]$A\in L^\infty (\Omega ;\mathbb{R}^{N\times N})$[/tex]) ed il [tex]$\cdot$[/tex] denota il prodotto vettore-matrice.

Prendiamo il problema:

(*) [tex]\begin{cases} -\text{div} \big( A(x)\cdot \text{D}u\big) =f &\text{, in } \Omega\\ u=0 &\text{, su } \partial \Omega\end{cases}[/tex],

con [tex]$f$[/tex] in uno spazio funzionale decente (ad esempio [tex]$f\in C(\Omega)$[/tex] oppure [tex]$f\in L^2(\Omega)$[/tex]), [tex]$\Omega$[/tex] aperto limitato e con la frontiera abbastanza liscia e supponiamo che [tex]$u$[/tex] sia una soluzione abbastanza buona del problema (ad esempio [tex]$u\in C^2(\Omega)\cap C(\overline{\Omega})$[/tex]).

La forma debole del problema si ottiene moltiplicando per una funzione test [tex]$v \in C_0^\infty (\Omega)$[/tex], integrando per parti (usando il teorema della divergenza) e poi allargando lo spazio in cui possono essere ricercate le soluzioni.
Abbiamo:

[tex]$\int_\Omega -\text{div} \big( A(x)\cdot \text{D}u\big) v =\int_\Omega fv$[/tex]

da cui:

[tex]$\int_\Omega \langle A(x)\cdot \text{D} u,\text{D}v\rangle -\int_{\partial \Omega} v\ \frac{\partial u}{\partial \nu} =\int_\Omega fv$[/tex],

ed infine (giacché [tex]$\phi=0$[/tex] fino sul bordo di [tex]$\Omega$[/tex]):

(**) [tex]$\int_\Omega \langle A(x)\cdot \text{D} u,\text{D}v\rangle =\int_\Omega fv$[/tex]

che è la suddetta forma debole del problema di Dirichlet (*). Con argomenti di densità si vede che il primo ed il secondo membro hanno senso se [tex]$u,v\in W_0^{1,2}=W_0^{1,2}(\Omega)$[/tex], e quest'ultimo è uno spazio di Hilbert; posto:

[tex]$\mathcal{A}[u,v]:=\int_\Omega \langle A(x)\cdot \text{D} u,\text{D}v\rangle$[/tex] ed [tex]$Fv:=\int_\Omega fv$[/tex],

la [tex]$\mathcal{A}[u,v]$[/tex] è una forma bilineare continua e la [tex]$Fv$[/tex] è un funzionale lineare continuo su [tex]$W_0^{1,2}$[/tex]; la (**) si può leggere come segue: [tex]$u \in C^2(\Omega)\cap C(\overline{\Omega}) \subseteq W_0^{1,2}$[/tex] è una funzione che consente di rappresentare il funzionale [tex]$F$[/tex] rispetto alla forma bilineare [tex]$\mathcal{A}$[/tex].

Se al posto del problema originario (*) consideriamo il problema debole (*) ambientato direttamente in [tex]$W_0^{1,2}$[/tex], possiamo provare l'esistenza di una [tex]$u\in W_0^{1,2}$[/tex] che gode della suddetta proprietà di rappresentazione usando risultati di Analisi Funzionale negli spazi di Hilbert: data la struttura del problema, il teorema di Lax-Milgram sembra adatto allo scopo... Abbiamo un funzionale lineare continuo, abbiamo una forma bilineare pure continua, ergo l'unico tassello mancante è la coecitività (od [tex]$H$[/tex]-ellitticità, per dirla con Kesavan) di [tex]$\mathcal{A}[u,v]$[/tex].
L'ipotesi di ellitticità sulla matrice [tex]$A(x)$[/tex], i.e. [tex]\langle A(x)\cdot \xi ,\xi\rangle =\sum_{i,j=1}^N a(x) \xi_i\xi_j\geq \theta |\xi|^2[/tex] garantisce che:

[tex]$\mathcal{A}[u,u]=\int_\Omega \langle A(x)\cdot \text{D} u,\text{D} u\rangle$[/tex]
[tex]$ \geq \theta \int_\Omega |\text{D} u|^2 $[/tex]
[tex]$=\theta \lVert \text{D} u\rVert_2^2$[/tex];

per la disuguaglianza di Poincaré esiste una costante [tex]$\gamma >0$[/tex] tale che [tex]$\lVert u\rVert_2\leq \gamma \lVert \text{D} u\rVert_2$[/tex], ergo:

[tex]$\lVert u\rVert_{1,2}^2 :=\lVert u\lVert_2^2 +\lVert \text{D} u\rVert_2^2 \leq (1+\gamma^2) \lVert \text{D} u\rVert_2^2$[/tex];

combinando questa disuguaglianza con la precedente si ottiene:

[tex]$\mathcal{A}[u,u]\geq \frac{\theta}{1+\gamma^2}\ \lVert u\rVert_{1,2}^2$[/tex]

che è la coercitività di [tex]$\mathcal{A}$[/tex].
Il teorema di Lax-Milgram assicura che esiste un unico [tex]$u\in W_0^{1,2}$[/tex] tale che [tex]$\mathcal{A}[u,v]=Fv$[/tex] per ogni [tex]$v\in W_0^{1,2}$[/tex] (e che tale [tex]$u$[/tex] si ottiene come soluzione di un problema variazionale).
A questo punto, se voglio recuperare una soluzione classica, mi basta far vedere che la [tex]$u$[/tex], per il solo fatto di essere minimo di un funzionale, è più regolare di quanto la sola appartenenza a [tex]$W_0^{1,2}$[/tex] lascerebbe supporre: questo si può fare se la matrice [tex]$A$[/tex], il termine noto [tex]$f$[/tex] e la frontiera di [tex]$\Omega$[/tex] sono sufficientemente buone (ad esempio [tex]$A\in C^1(\Omega ;\mathbb{R}^{N\times N})$[/tex], [tex]$f\in L^2(\Omega)$[/tex] e [tex]$\partial \Omega$[/tex] è [tex]$C^2$[/tex]).

Il senso di questo esempio è il seguente: la coecitività (o [tex]$H$[/tex]-ellitticità) della forma bilineare [tex]$\mathcal{A}[u,v]$[/tex] associata al problema di Dirichlet (*) non si riesce a recuperare unicamente dalla ellitticità della matrice [tex]$A(x)$[/tex], ma c'è bisogno anche di altro (una disuguaglianza tipo Poincaré, oppure di disuguaglianza tipo Cauchy con [tex]$\varepsilon$[/tex]**).


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* Sarebbe meglio dire che la sua "parte principale" si scrive a quel modo... Ma la presenza di termini di ordine inferiore crea un po' di casini, quindi non considererò pezzi in più.

** Se [tex]$\varepsilon >0$[/tex], esiste una costante [tex]$C(\varepsilon)>0$[/tex] tale che:

[tex]$\int_\Omega |\text{D} u|\ |u|\leq \varepsilon \int_\Omega |\text{D} u|^2 +C(\varepsilon) \int_\Omega |u|^2$[/tex]

per ogni [tex]$u\in W_0^{1,2}$[/tex].