Nome ed equazione di una superficie
La mia domanda è molto particolare e spero che avrete la pazienza di leggerla e di rispondere. Non so nemmeno come presentare bene il problema che voglio chiedere perché sono ancora sconvolto dall'emozione. Ci provo ugualmente.
Guardate questa immagine che mi ha letteralmente affascinato. In primo piano, in particolar modo sulla sinistra, compaiono piante che sono state bizzarramente potate e le cui fronde descrivono una superficie che mi verrebbe da definire come "spirale tridimensionale conica". La spirale si sviluppa da un punto posto all'apice della pianta e man mano che si sviluppa si allarga come raggio, come passo, come "sezione del tratto di supeficie" ecc. Però per essere usata anche nel giardinaggio deve essere molto famosa come superficie e mi sembra di essere l'unico che ancora non la conosce. Qual è dunque il nome e l'equazione di tale superficie?
Guardate questa immagine che mi ha letteralmente affascinato. In primo piano, in particolar modo sulla sinistra, compaiono piante che sono state bizzarramente potate e le cui fronde descrivono una superficie che mi verrebbe da definire come "spirale tridimensionale conica". La spirale si sviluppa da un punto posto all'apice della pianta e man mano che si sviluppa si allarga come raggio, come passo, come "sezione del tratto di supeficie" ecc. Però per essere usata anche nel giardinaggio deve essere molto famosa come superficie e mi sembra di essere l'unico che ancora non la conosce. Qual è dunque il nome e l'equazione di tale superficie?
Risposte
Qualcuno sa rispondere?
"magliocurioso":
"spirale tridimensionale conica"
Non è molto sbagliato come nome, alla fine è una mezza specie di elicoide (http://en.wikipedia.org/wiki/Helicoid). Non ricordo, però, se si chiama "elicoide conico", "elicoide rigato conico" o altro, qui rimando a qualcuno che ne sa più di me in geometria.
Mah... Non so se una superficie del genere abbia un nome proprio.
Tuttavia, trovarne una parametrizzazione è un giochetto più o meno semplice.
Innanzitutto, immaginiamo che la nostra superficie \(\Sigma\) abbia il vertice in \(o=(0,0,0)\) e che si "avvolga" intorno al semiasse \((z)\) positivo partendo al semiasse \((x)\) positivo. In tal caso, comunque si fissi un semipiano che si diparta dall'asse \((z)\), la superficie interseca tale semipiano in una o più circonferenze tangenti all'asse \((z)\) che non si intersecano fra loro.
Scegliendo di parametrizzare la stella di semipiani secondo l'angolo \(\theta\) che essi formano col semiasse \((x)\) positivo, si ottiene una famiglia \(2\pi\)-periodica (poiché, dopo aver fatto un giro completo attorno all'asse \((z)\), i semipiani ritornano su loro stessi): allora, ad ogni \(\theta \in [0,\infty[\) è possibile associare un semipiano \(\Pi_\theta^+\) ed, ad ognuno di tali semipiani è possibile associare un'unica circonferenza appartenente alla superficie \(\Sigma\) prendendo quella alla quota più bassa che non sia stata già descritta per nessun angolo precedente.
In tal modo, ad ogni angolo \(\theta \in [0,\infty[\) sono associati due numeri: \(b(\theta)\) e \(r(\theta)\) che sono, rispettivamente, la quota del centro ed il raggio della circonferenza \(\Sigma \cap \Pi_\theta^+\) scelta come indicato sopra.
Le funzioni \(b,r:[0,\infty[ \to [0,\infty[\) sono continue e, dato che le circonferenze relative a due semipiani del tipo \(\Pi_\theta^+\) e \(\Pi_{\theta +2\pi}^+\) non devono intersecarsi né intersecare il piano \(Oxy\), soddisfano le disuguaglianze:
\[
\begin{cases}
b(\theta)\geq r(\theta)\\
\Big( b(\phi) - b(\phi +2\pi)\Big)^2 + \Big( r(\phi) - r(\phi +2\pi)\Big)^2 \geq r(\phi) + r(\phi +2\pi)
\end{cases}
\]
che esprime il fatto che la distanza tra i centri delle due circonferenze è maggiore della somma dei raggi delle stesse (condizione di non secanza tra due circonferenza sullo stesso semipiano) e:
\[
b(0)=0=r(0)
\]
che esprime il fatto che il vertice di \(\Sigma\) è l'origine.
Ora, immaginiamo di introdurre su ogni semipiano \(\Pi_\theta^+\) un sistema di riferimento cartesiano \(Ots\) in cui \(O\) è il punto che coincide con \(o\), l'asse \((s)\) coincide con l'asse \((z)\) e l'asse \((t)\) coincide con la retta lungo la quale giace la semiretta intersezione di \(\Pi_\theta^+\) col piano \((xy)\) di \(oxyz\).
La circonferenza \(\Sigma \cap \Pi_\theta^+\) nelle coordinate \(Ots\) ha centro nel punto \((r(\theta),b(\theta))\) e raggio \(r(\theta)\), quindi ha equazioni parametriche:
\[
\begin{cases}
t=r(\theta) + r(\theta)\ \cos \phi\\
s= b(\theta) + r(\theta)\ \sin \phi
\end{cases} \; , \qquad \phi \in [0,2\pi]\quad \Rightarrow \quad \begin{cases}
t=r(\theta)\ (1 + \cos \phi )\\
s= b(\theta) + r(\theta)\ \sin \phi
\end{cases} \; , \qquad \phi \in [0,2\pi]
\]
Pertanto la circonferenza \(\Sigma \cap \Pi_\theta^+\) ha equazioni in \(oxyz\):
\[
\begin{cases}
x= t(\theta ,\phi)\ \cos \theta\\
y= t(\theta , \phi)\ \sin \theta\\
z=s (\theta , \phi)
\end{cases} \quad (\theta ,\phi) \in [0,\infty[\times [0,2\pi] \quad \Rightarrow \quad
\begin{cases}
x= r(\theta)\ (1 + \cos \phi )\ \cos \theta\\
y= r(\theta)\ (1 + \cos \phi )\ \sin \theta\\
z= b(\theta) + r(\theta)\ \sin \phi
\end{cases} \quad (\theta ,\phi) \in [0,\infty[\times [0,2\pi]
\]
Il problema è trovare le funzioni \(b\) ed \(r\) adatte a descrivere la "conchiglia"... Ma questo lo lascio a voi.
Tuttavia, trovarne una parametrizzazione è un giochetto più o meno semplice.
Innanzitutto, immaginiamo che la nostra superficie \(\Sigma\) abbia il vertice in \(o=(0,0,0)\) e che si "avvolga" intorno al semiasse \((z)\) positivo partendo al semiasse \((x)\) positivo. In tal caso, comunque si fissi un semipiano che si diparta dall'asse \((z)\), la superficie interseca tale semipiano in una o più circonferenze tangenti all'asse \((z)\) che non si intersecano fra loro.
Scegliendo di parametrizzare la stella di semipiani secondo l'angolo \(\theta\) che essi formano col semiasse \((x)\) positivo, si ottiene una famiglia \(2\pi\)-periodica (poiché, dopo aver fatto un giro completo attorno all'asse \((z)\), i semipiani ritornano su loro stessi): allora, ad ogni \(\theta \in [0,\infty[\) è possibile associare un semipiano \(\Pi_\theta^+\) ed, ad ognuno di tali semipiani è possibile associare un'unica circonferenza appartenente alla superficie \(\Sigma\) prendendo quella alla quota più bassa che non sia stata già descritta per nessun angolo precedente.
In tal modo, ad ogni angolo \(\theta \in [0,\infty[\) sono associati due numeri: \(b(\theta)\) e \(r(\theta)\) che sono, rispettivamente, la quota del centro ed il raggio della circonferenza \(\Sigma \cap \Pi_\theta^+\) scelta come indicato sopra.
Le funzioni \(b,r:[0,\infty[ \to [0,\infty[\) sono continue e, dato che le circonferenze relative a due semipiani del tipo \(\Pi_\theta^+\) e \(\Pi_{\theta +2\pi}^+\) non devono intersecarsi né intersecare il piano \(Oxy\), soddisfano le disuguaglianze:
\[
\begin{cases}
b(\theta)\geq r(\theta)\\
\Big( b(\phi) - b(\phi +2\pi)\Big)^2 + \Big( r(\phi) - r(\phi +2\pi)\Big)^2 \geq r(\phi) + r(\phi +2\pi)
\end{cases}
\]
che esprime il fatto che la distanza tra i centri delle due circonferenze è maggiore della somma dei raggi delle stesse (condizione di non secanza tra due circonferenza sullo stesso semipiano) e:
\[
b(0)=0=r(0)
\]
che esprime il fatto che il vertice di \(\Sigma\) è l'origine.
Ora, immaginiamo di introdurre su ogni semipiano \(\Pi_\theta^+\) un sistema di riferimento cartesiano \(Ots\) in cui \(O\) è il punto che coincide con \(o\), l'asse \((s)\) coincide con l'asse \((z)\) e l'asse \((t)\) coincide con la retta lungo la quale giace la semiretta intersezione di \(\Pi_\theta^+\) col piano \((xy)\) di \(oxyz\).
La circonferenza \(\Sigma \cap \Pi_\theta^+\) nelle coordinate \(Ots\) ha centro nel punto \((r(\theta),b(\theta))\) e raggio \(r(\theta)\), quindi ha equazioni parametriche:
\[
\begin{cases}
t=r(\theta) + r(\theta)\ \cos \phi\\
s= b(\theta) + r(\theta)\ \sin \phi
\end{cases} \; , \qquad \phi \in [0,2\pi]\quad \Rightarrow \quad \begin{cases}
t=r(\theta)\ (1 + \cos \phi )\\
s= b(\theta) + r(\theta)\ \sin \phi
\end{cases} \; , \qquad \phi \in [0,2\pi]
\]
Pertanto la circonferenza \(\Sigma \cap \Pi_\theta^+\) ha equazioni in \(oxyz\):
\[
\begin{cases}
x= t(\theta ,\phi)\ \cos \theta\\
y= t(\theta , \phi)\ \sin \theta\\
z=s (\theta , \phi)
\end{cases} \quad (\theta ,\phi) \in [0,\infty[\times [0,2\pi] \quad \Rightarrow \quad
\begin{cases}
x= r(\theta)\ (1 + \cos \phi )\ \cos \theta\\
y= r(\theta)\ (1 + \cos \phi )\ \sin \theta\\
z= b(\theta) + r(\theta)\ \sin \phi
\end{cases} \quad (\theta ,\phi) \in [0,\infty[\times [0,2\pi]
\]
Il problema è trovare le funzioni \(b\) ed \(r\) adatte a descrivere la "conchiglia"... Ma questo lo lascio a voi.
gugo, TI ADORO 
"gugo82":Ma è un banale risultato oppure è terribilmente complicato?
Il problema è trovare le funzioni \(b\) ed \(r\) adatte a descrivere la "conchiglia"... Ma questo lo lascio a voi.
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