Negazione logica di alcune definizioni (dubbio)
Buonasera utenti,
sono qui per chiedervi un aiuto su un dubbio di logica applicata all'analisi (definizioni)
per farla breve mi è stato insegnato che se voglio negare
Per ogni x,esiste un y tale che z
∀x ∃y t.c. z devo affermare ∃x ∀y t.c non z
ma portandolo a un esempio pratico non mi torna, se affermassi:
Definiamo che il capello è il pelo solamente umano che cresce sul capo, bene..
Per ogni capello esiste almeno un essere umano t.c si pettina
negare questo dovrebbe voler dire affermare
esiste almeno un capello per ogni essere umano t.c non si pettina
A me non pare proprio la negazione, eppure è quel che si usa per dimostrare la non esistenza di un limite.
Partendo dalla affermazione corretta
∀ε>0 ∃δ(ε)>0 t.c se |x-x.|<δ allora |f(x)-l|<ε
la negazione sarebbe
∃ε>0 ∀δ(ε)>0 t.c se |x-x.|<δ allora |f(x)-l|>ε
Per quanto ci stia ragionando da un po' non riesco a vedere come
Per ogni capello esiste almeno un essere umano t.c si pettina
negare questo dovrebbe voler dire affermare
esiste almeno un capello per ogni essere umano t.c non si pettina
Spero riusciate a togliermi dall'impiccio
, nel caso vi ringrazio anticipatamente.
sono qui per chiedervi un aiuto su un dubbio di logica applicata all'analisi (definizioni)
per farla breve mi è stato insegnato che se voglio negare
Per ogni x,esiste un y tale che z
∀x ∃y t.c. z devo affermare ∃x ∀y t.c non z
ma portandolo a un esempio pratico non mi torna, se affermassi:
Definiamo che il capello è il pelo solamente umano che cresce sul capo, bene..
Per ogni capello esiste almeno un essere umano t.c si pettina
negare questo dovrebbe voler dire affermare
esiste almeno un capello per ogni essere umano t.c non si pettina
A me non pare proprio la negazione, eppure è quel che si usa per dimostrare la non esistenza di un limite.
Partendo dalla affermazione corretta
∀ε>0 ∃δ(ε)>0 t.c se |x-x.|<δ allora |f(x)-l|<ε
la negazione sarebbe
∃ε>0 ∀δ(ε)>0 t.c se |x-x.|<δ allora |f(x)-l|>ε
Per quanto ci stia ragionando da un po' non riesco a vedere come
Per ogni capello esiste almeno un essere umano t.c si pettina
negare questo dovrebbe voler dire affermare
esiste almeno un capello per ogni essere umano t.c non si pettina
Spero riusciate a togliermi dall'impiccio
, nel caso vi ringrazio anticipatamente.
Risposte
Sperando di non dire una cavolata ( 
) io penso che affinché il tutto abbia, se non un senso almeno un'utilità, il predicato deve contenere un riferimento preciso alle variabili altrimenti puoi dire di tutto ... ed io nel tuo esempio non vedo questo legame ... IMHO
Cordialmente, Alex
) io penso che affinché il tutto abbia, se non un senso almeno un'utilità, il predicato deve contenere un riferimento preciso alle variabili altrimenti puoi dire di tutto ... ed io nel tuo esempio non vedo questo legame ... IMHOCordialmente, Alex
Ammettendo (con buona probabilità dato che c'è sempre un qualcosa che mi sfugge della logica fin dal liceo) che quel che dici sia giusto, finché non negato da altri utenti...
Non capisco comunque perché
∀ε>0 ∃δ(ε)>0 t.c se |x-x.|<δ allora |f(x)-l|<ε
abbia qesto come negazione
∃ε>0 ∀δ(ε)>0 t.c se |x-x.|<δ allora |f(x)-l|>ε
Non riesco cioè, almeno intuitivamente, a figurarmelo.
Non capisco comunque perché
∀ε>0 ∃δ(ε)>0 t.c se |x-x.|<δ allora |f(x)-l|<ε
abbia qesto come negazione
∃ε>0 ∀δ(ε)>0 t.c se |x-x.|<δ allora |f(x)-l|>ε
Non riesco cioè, almeno intuitivamente, a figurarmelo.
Se ho capito bene il tuo dubbio allora pensa a questa funzione $f(x)={(1\text( se )x in QQ),(0\text( se )x in RR\\QQ):}$ e al suo limite per $x -> x_0$
In effetti verifica quanto dice la proposizione che nega la definizione.
Però il punto è che non capisco perché secondo la logica ∀x ∃y t.c. z negata è ∃x ∀y t.c non z
Forse la questione è più logica che altro.
Però il punto è che non capisco perché secondo la logica ∀x ∃y t.c. z negata è ∃x ∀y t.c non z
Forse la questione è più logica che altro.
Che sia una questione di logica è sicuro ...
Io non so dirti molto ma pensa per esempio che se "qualcosa" deve essere valido per "ogni" valore di "qualcos'altro", allora ti basta trovare anche un solo valore di questo "qualcos'altro" per cui quella cosa non "funzioni" per negarne la validità ...
Io non so dirti molto ma pensa per esempio che se "qualcosa" deve essere valido per "ogni" valore di "qualcos'altro", allora ti basta trovare anche un solo valore di questo "qualcos'altro" per cui quella cosa non "funzioni" per negarne la validità ...
Negare il fatto che per ogni capello esiste almeno un essere umano che si pettina equivale a dire che esiste almeno un capello per cui non esiste alcun essere umano che si pettina... come dice axpgn, basta un controesempio per far cadere la tesi. Nel mio caso, il controesempio è dato da un capello per il quale nessuno si pettina: ovviamente non posso più affermare che per ogni capello c'è qualcuno che si pettina.
Un altro esempio potrebbe essere questo ...
Per ogni uomo ($AAx$) esiste (almeno) un rasoio ($EEy$) che rade la barba fino a un decimo di millimetro ($P(x,y)$)
La negazione di quest'affermazione non è che per ogni uomo non esista un rasoio simile ma è sufficiente che non esista quel rasoio per un uomo soltanto ovvero ...
Esiste (almeno) un uomo ($EEx$) per il quale ogni rasoio ($AAy$) NON rade la barba fino a un decimo di millimetro ($not P(x,y)$)
Mi pare che funzioni ...
Cordialmente, Alex
Per ogni uomo ($AAx$) esiste (almeno) un rasoio ($EEy$) che rade la barba fino a un decimo di millimetro ($P(x,y)$)
La negazione di quest'affermazione non è che per ogni uomo non esista un rasoio simile ma è sufficiente che non esista quel rasoio per un uomo soltanto ovvero ...
Esiste (almeno) un uomo ($EEx$) per il quale ogni rasoio ($AAy$) NON rade la barba fino a un decimo di millimetro ($not P(x,y)$)
Mi pare che funzioni ...
Cordialmente, Alex
"ìawa vuole l'accento":
Ammettendo (con buona probabilità dato che c'è sempre un qualcosa che mi sfugge della logica fin dal liceo) che quel che dici sia giusto, finché non negato da altri utenti...
Non capisco comunque perché
∀ε>0 ∃δ(ε)>0 t.c se |x-x.|<δ allora |f(x)-l|<ε
abbia qesto come negazione
∃ε>0 ∀δ(ε)>0 t.c se |x-x.|<δ allora |f(x)-l|>ε
Non riesco cioè, almeno intuitivamente, a figurarmelo.
tralascio gli esempi nel linguaggio naturale, se hai qualche base di logica allora è semplicissimo negare quella catena di quantificatori, sai che $$(A\to B) \equiv (\neg A \vee B)$$ $$\neg(A\to B)\equiv (A \wedge \neg B)$$ $$\neg (A \wedge B)\equiv (\neg A \vee \neg B)$$ la def. di limite che usi è scritta in forma breve, in veritá sarebbe in forma estesa ma non troppo (e mi rivolgo a @axpgn anche, non specifico dove spazia \(x\) poco importa...): $$\forall \epsilon \in \Bbb{R}:( \epsilon >0 \to \exists \delta \in \Bbb{R} : (\delta >0 \wedge \forall x: (| x-x_0| < \delta \to | f(x) -L| < \epsilon)))$$ procedendo alla negazione, è sempre un buon esercizio, si ha caso dopo caso sperando di non fare errori dato l'orario: $$\neg(\forall \epsilon \in \Bbb{R}:( \epsilon >0 \to \exists \delta \in \Bbb{R} : (\delta >0 \wedge \forall x : (| x-x_0| < \delta \to | f(x) -L| < \epsilon))))$$ $$\exists \epsilon \in \Bbb{R}:\neg(( \epsilon >0 \to \exists \delta \in \Bbb{R} : (\delta >0 \wedge \forall x : (| x-x_0| < \delta \to | f(x) -L| < \epsilon))))$$ $$\exists \epsilon \in \Bbb{R}:( \epsilon >0 \wedge \neg( \exists \delta \in \Bbb{R} : (\delta >0 \wedge \forall : (| x-x_0| < \delta \to | f(x) -L| < \epsilon))))$$ $$\exists \epsilon \in \Bbb{R}:( \epsilon >0 \wedge \forall \delta \in \Bbb{R} : \neg((\delta >0 \wedge \forall x : (| x-x_0| < \delta \to | f(x) -L| < \epsilon))))$$ $$\exists \epsilon \in \Bbb{R}:( \epsilon >0 \wedge \forall \delta \in \Bbb{R} : (\neg(\delta >0) \vee \neg(\forall x : (| x-x_0| < \delta \to | f(x) -L| < \epsilon))))$$ $$\exists \epsilon \in \Bbb{R}:( \epsilon >0 \wedge \forall \delta \in \Bbb{R} : (\neg(\delta >0) \vee \exists x : \neg((| x-x_0| < \delta \to | f(x) -L| < \epsilon))))$$ $$\exists \epsilon \in \Bbb{R}:( \epsilon >0 \wedge \forall \delta \in \Bbb{R} : (\neg(\delta >0) \vee \exists x : (| x-x_0| < \delta \wedge \neg(| f(x) -L| < \epsilon))))$$ $$\exists \epsilon \in \Bbb{R}:( \epsilon >0 \wedge \forall \delta \in \Bbb{R} : (\delta >0 \to \exists x : (| x-x_0| < \delta \wedge \neg(| f(x) -L| < \epsilon))))$$ $$\exists \epsilon \in \Bbb{R}:( \epsilon >0 \wedge \forall \delta \in \Bbb{R} : (\delta >0 \to \exists x : (| x-x_0| < \delta \wedge | f(x) -L| \geq \epsilon)))$$ in forma compatta $$\exists \epsilon >0:( \forall \delta >0: (\exists x : (| x-x_0| < \delta \wedge | f(x) -L| \geq \epsilon)))$$
Attingendo le varie informazioni da tutti penso proprio di aver capito.
Grazie mille
!
Grazie mille
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