Negazione iniettività di una funzione

[lucads1]

Ciao, ho un dubbio riguardante la negazione della definizione di funzione iniettiva.

Una funzione $ f $ è iniettiva se $ AA x,y in D(f) , x!= y rArr f(x)!= f(y) $

Questa proposizione è ovviamente equivalente alla seguente

$ AA x,y in D(f), f(x)=f(y) rArr x=y $

f non è iniettiva se $ EE x,y in D(f) | x!= y rArr f(x)=f(y) $

Se però scrivo la proposizione logicamente equivalente all'implicazione soprascritta

$ f(x)!= f(y)rArr x=y $

ottengo una proposizione che afferma che f non è una funzione, in quanto elementi distinti dell'immagine di $ f $ provengono da uno stesso elemento del dominio. Potrebbe invece significare che è la funzione inversa che non esiste? Qual è l'errore in questo ragionamento? Grazie.

[Plepp]

"lucads":f non è iniettiva se $ EE x,y in D(f) | x!= y rArr f(x)=f(y) $

Semplicemente hai scritto male: non c'è un'implicazione lì (e anzi, ciò che hai scritto è falso a prescindere: sia se $f$ è iniettiva, sia se non lo è, deve aversi $f(x)=f(y)$ quando $x=y$).

$f$ non è iniettiva se "esistono $x,y$ tali che $x\ne y$ e $f(x)=f(y)$", cioè se "non per ogni $x,y$ vale $f(x)=f(y)\implies x=y$".