Negazione della continuità

[Luke1984]

Ho un dubbio riguardo una dimostrazione fatta da un mio professore...
Per farla breve si doveva dimostrare la continuità di una funzione definita in tutto un sottoinsieme $D$ aperto di $RR^n$
Procedendo per assurdo, bisogna negare il fatto che la funzione sia continua in un punto $x_0$...

Ecco quello che ha scritto il prof:
Esistono $epsilon>0$, $delta>0$ tali che per ogni $x in B_delta(x_0)$ si ha che
$f(x)>=f(x_0)+epsilon$ oppure $f(x)<=f(x_0)-epsilon$

Secondo me qualcosa non quadra, e ho pensato anche a un controesempio...
$f:RR^2->RR$ definita $1$ sull'insieme ${(x,y)inRR^2 t.c. x>0,y=x^2}$, e $0$ sul resto del piano.
Correggetemi se sbaglio, ma questa funzione non è continua in $x_0=(0,0)$, giusto?
..eppure per nessun $epsilon>0$ esiste una palla aperta contenente $(0,0)$, al cui interno la funzione sia $>=epsilon$...(nè tantomeno $<=-epsilon$ !!)

Secondo me doveva essere invece così:
Esiste $epsilon>0$ tale che per qualunque $delta>0$ si ha che esiste $x in B_delta(x_0)$ tale che
$f(x)>=f(x_0)+epsilon$ oppure $f(x)<=f(x_0)-epsilon$

Ringrazio in anticipo chiunque mi darà delucidazioni.

Luca

[Fioravante Patrone1]

hai ragione

tra l'latro, quello che scrivi tu deriva dalla meccanica (e corretta) negazione di una frase con quantificatori...

[Luke1984]

che velocità!

grazie mille per avermi tolto questo dubbio, anche se ora mi rendo conti che quindi il resto della dimostrazione non stà in piedi, perchè si basava pesantemente su quel "per ogni $x in B_delta(x_0)$"

mi rincuoro con la soddisfazione di essere arrivato da solo alla negazione corretta...visto che di solito queste cose "logiche" mi fanno impazzire!

Grazie Ciao