Negazione definizione di limite di successione numerica
Ciao a tutti vorrei sapere qual è la negazione della definizione(in forma logica) di limite di successione numerica?
Grazie.
Grazie.
Risposte
qual'è la definizione di limite di una successione numerica in forma logica?
comincia con lo scrivere questo.
comincia con lo scrivere questo.
Un numero reale a è il limite di una successione {a(n)} se e solo se per ogni ε > 0 esiste un numero naturale v(ε ) tale che |a(n) - a| < ε per ogni n > v(ε ).
perfetto!
la riscrivo in fomule, sarebbe bene che imparassi ad usarle anche tu!
data la successione ${a_n}$ a valori in $RR$, diremo che
$lim_(n to infty)a_n=a in RR$ $\Leftrightarrow$ $AA \epsilon>0$, $EE\nu(\epsilon)$ tale che $AAn>\nu(\epsilon)$,$|a_n-a|<\epsilon$
un'osservazione, qui ci occupiamo solo di $a in RR$, ma si potrebbe trattare anche $a=\pm infty$
ma torniamo alla tua domanda:
vogliamo negare che tale limite reale $a$ esista. quindi, secondo te, prima intuitivamente, cosa dovrebbe succedere ?
la riscrivo in fomule, sarebbe bene che imparassi ad usarle anche tu!
data la successione ${a_n}$ a valori in $RR$, diremo che
$lim_(n to infty)a_n=a in RR$ $\Leftrightarrow$ $AA \epsilon>0$, $EE\nu(\epsilon)$ tale che $AAn>\nu(\epsilon)$,$|a_n-a|<\epsilon$
un'osservazione, qui ci occupiamo solo di $a in RR$, ma si potrebbe trattare anche $a=\pm infty$
ma torniamo alla tua domanda:
vogliamo negare che tale limite reale $a$ esista. quindi, secondo te, prima intuitivamente, cosa dovrebbe succedere ?
a è limite di {a(n)} ←→ ∀ε > 0 ∃v(ε)∈ N : |a(n) - a| < ε ∀n > v(ε).
La negazione di questa proposizione logica potrebbe essere:
a non è limite di {a(n)} ←→ ∀v∈ N ∃ε > 0 : ∃n > v : |a(n) - a| > ε.
a non è limite di {a(n)} ←→ ∀v∈ N ∃ε > 0 : ∃n > v : |a(n) - a| > ε.
non funziona. così non neghi la proposizione, perchè la tua affermazione è vera anche se $lim_(n to infty) a_n=a in RR$.
infatti tu dici che se io prendo un qualunque numero naturale $\nu$, allora esiste un $\epsilon$ tale che
esiste almeno un numero naturale maggiore di $\nu$, e io prendo $\nu +1$
tale che $|a_(\nu+1)-a|>\epsilon$
e questo va bene, magari da $\nu+2$ in poi invece si ha che $|a_n-a|<\epsilon$.
non so se ti è chiaro, è un ragionamento arzigogolato.
ti dò un aiuto sulla negazione:
tu vuoi che esista un $\epsilon$ tale che la successione ${a_n}$ si tenga sempre distante da $a$ più di $\epsilon$ stesso.
N.B. è necessario che cominci ad usare le formule, almeno quando sono facili.
infatti tu dici che se io prendo un qualunque numero naturale $\nu$, allora esiste un $\epsilon$ tale che
esiste almeno un numero naturale maggiore di $\nu$, e io prendo $\nu +1$
tale che $|a_(\nu+1)-a|>\epsilon$
e questo va bene, magari da $\nu+2$ in poi invece si ha che $|a_n-a|<\epsilon$.
non so se ti è chiaro, è un ragionamento arzigogolato.
ti dò un aiuto sulla negazione:
tu vuoi che esista un $\epsilon$ tale che la successione ${a_n}$ si tenga sempre distante da $a$ più di $\epsilon$ stesso.
N.B. è necessario che cominci ad usare le formule, almeno quando sono facili.
Allora la negazione può essere quest'altra : esiste almeno un ε > 0 tale che |a(n) - a| < ε è verificata solo per qualche indice v naturale oppure esclusivamente per nessun numero naturale.
"fabio_84":
Allora la negazione può essere quest'altra : esiste almeno un ε > 0 tale che |a(n) - a| < ε è verificata solo per qualche indice v naturale oppure esclusivamente per nessun numero naturale.
Neanche così va bene perchè non è rigorosa (e l'hai chiesta tu la negazione in forma logica, questa non lo è).
E comunque, non capisco perchè dopo due volte che blackbishop ti ha gentilmente invitato ad usare le formule, con tanto di link, tu ti ostini a non farlo.
La risposta che cerchi, non te la dico in forma logica perchè la devi trarre tu, è che esisterà un certo raggio di intorno $epsilon$ di $a$ tale che l'insieme dei valori di questo intorno intersecato con l'insieme dei valori della successione restituisce un insieme vuoto. Come potrai notare, qui $a$ è stato ipotizzato finito.
Grazie ragazzi e scusatemi per non aver utilizzato le formule.
"ObServer":
La risposta che cerchi, non te la dico in forma logica perchè la devi trarre tu, è che esisterà un certo raggio di intorno $epsilon$ di $a$ tale che l'insieme dei valori di questo intorno intersecato con l'insieme dei valori della successione restituisce un insieme vuoto. Come potrai notare, qui $a$ è stato ipotizzato finito.
Sorry ma é errata anche questa.
Prendi una successione che abbia $a$ come punto limite, nel senso che esiste una sottosuccessione che converge in $a$, ecco allora che l'intersezione di cui sopra non sará mai vuota.
Mi dispiace non esprimerla in forma logica, ma ho una pigrizia congenita. La negazione consiste nel dire che esiste un $epsilon > 0$ in corrispondenza del quale non esiste alcun $N$ a partire da cui, definitivamente, la relazione $|a(n) - a| < epsilon$ é soddisfatta.
Per dirla in altre parole, esiste un intorno del limite(presunto) che lascia fuori un numero infinito di termini della successione.
"fabio84":
La negazione di questa proposizione logica potrebbe essere:
a non è limite di {a(n)} ←→ ∀v∈ N ∃ε > 0 : ∃n > v : |a(n) - a| > ε.
Questa é sbagliata solo perché hai anteposto il "per ogni v" all'esiste almen un $epsilon$, quel per ogni v andava posto dopo il "tale che".
Quindi la negazione della definizione di limite di successione numerica è questa:
Sia $a$ $in$ $RR$ e sia ${a_n}_(ninNN)$ una successione numerica di numeri reali.
$a$ non è limite di ${a_n}_(ninNN)$ $hArr$ $EE\epsilon>0$ $:$ $AA\nuinNN$ $EEn>\nu$ $:$ $|a_n - a|>\epsilon$ .
Sia $a$ $in$ $RR$ e sia ${a_n}_(ninNN)$ una successione numerica di numeri reali.
$a$ non è limite di ${a_n}_(ninNN)$ $hArr$ $EE\epsilon>0$ $:$ $AA\nuinNN$ $EEn>\nu$ $:$ $|a_n - a|>\epsilon$ .
Ecco, ora é giusta. 
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