Necessità della teoria della misura
Salve ragazzi..ho un grande dubbio! La mia prof di analisi 2 afferma che per Riemann la teoria è elementare e richiede solo che le funzioni da trattare siano regolari..invece Lebesgue controlla l'oscillazione ma ha bisogno di raffinare la teoria della misura..ma in che senso???da cosa nasce la necessità di introdurre una nuova teoria della misura??? grazie
Risposte
L'introduzione (storico-matematica) della teoria di integrazione di Lebesgue è discussa QUI (e forse in certe parti risponde alla tua richiesta).
Ma se non ho capito male la tua domanda è però leggermente diversa, quindi vedrò di spiegarmi.
L'integrale di Riemann si basa sostanzialmente sulla teoria della misura di Peano-Jordan (che in soldoni "approssima" la misura di un insieme attraverso i plurirettangoli interni/esterni) che però presenta forti limitazioni per insiemi un po' strani.
Volendo superare questa problematica è chiaro che introducendo un integrale basato sulla stessa teoria, non se ne può venire a capo.
Cerco di farti un esempio
Prendi una funzione continua e fanne l'integrale alla riemann:
E' ovvio che essendo continua è anche integrabile, e gli integrali di R. e L. sono uguali. Ma in questo caso non hai neanche bisogno di introdurre un nuovo tipo di misura in quanto l'oscillazione in y è controllabile "controllando" x.
Ma se prendi la funzione di Dirichlet, ecco che è molto problematico (anzi impossible) controllare a priori la oscillazione in y, qualunque sia il tuo controllo in x.
Quando invece vai a controllare l'oscillazione delle ordinate, il problema diventa appunto capire "come misurare" l'insieme delle ascisse la cui $f(x)$ è controllata.
Sempre per quanto riguarda Dirichlet, se controlli l'oscillazione e provi a misurare quindi l'insieme $x : f(x)=1 $ ecco che con la misura di peano jordan non avresti la possibilità di farlo.
Uno dei punti chiave della misura di Lebesgue è sicuramente la additività numerabile della misura cosa di cui P-J NON gode
In realtà l'integrale di Lebesgue non è "forte" perchè permette di integrare funzioni "strane", ma per la presenza di teoremi di passaggio al limite sotto il segno di integrale molto più generici di quelli utilizzabili considerando l'integrale alla Riemann.
Ma se non ho capito male la tua domanda è però leggermente diversa, quindi vedrò di spiegarmi.
L'integrale di Riemann si basa sostanzialmente sulla teoria della misura di Peano-Jordan (che in soldoni "approssima" la misura di un insieme attraverso i plurirettangoli interni/esterni) che però presenta forti limitazioni per insiemi un po' strani.
Volendo superare questa problematica è chiaro che introducendo un integrale basato sulla stessa teoria, non se ne può venire a capo.
Cerco di farti un esempio
Prendi una funzione continua e fanne l'integrale alla riemann:
E' ovvio che essendo continua è anche integrabile, e gli integrali di R. e L. sono uguali. Ma in questo caso non hai neanche bisogno di introdurre un nuovo tipo di misura in quanto l'oscillazione in y è controllabile "controllando" x.
Ma se prendi la funzione di Dirichlet, ecco che è molto problematico (anzi impossible) controllare a priori la oscillazione in y, qualunque sia il tuo controllo in x.
Quando invece vai a controllare l'oscillazione delle ordinate, il problema diventa appunto capire "come misurare" l'insieme delle ascisse la cui $f(x)$ è controllata.
Sempre per quanto riguarda Dirichlet, se controlli l'oscillazione e provi a misurare quindi l'insieme $x : f(x)=1 $ ecco che con la misura di peano jordan non avresti la possibilità di farlo.
Uno dei punti chiave della misura di Lebesgue è sicuramente la additività numerabile della misura cosa di cui P-J NON gode
In realtà l'integrale di Lebesgue non è "forte" perchè permette di integrare funzioni "strane", ma per la presenza di teoremi di passaggio al limite sotto il segno di integrale molto più generici di quelli utilizzabili considerando l'integrale alla Riemann.
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