Natura punti stazionari in una finzione a due variabili
Ciao =)
Non riesco a fare un esercizio, mi potreste aiutare?
L'esercizio è: Stabilire la natura del punto P0=(2;0) per la funzione f(x;y)=e^(4x -x^2 -y^2)
Grazie mille
Non riesco a fare un esercizio, mi potreste aiutare?
L'esercizio è: Stabilire la natura del punto P0=(2;0) per la funzione f(x;y)=e^(4x -x^2 -y^2)
Grazie mille
Risposte
Ciao e benvenuta sul forum,
tu cosa hai provato a fare? Dove ti sei bloccata?
tu cosa hai provato a fare? Dove ti sei bloccata?
Ho fatto praticamente tutto ma non riesco a fare le derivate seconde miste 
Fai vedere quello che hai fatto
A me non piace molto fare i calcoli (poi se scopro pure che la matrice hessiana non mi dà informazioni...) così cerco di trovare strade alternative. Ora provo a ragionare sul polinomio al''esponente
$4x-x^2-y^2$
se metti tutto tra i simboli del dollaro le formule sono più leggibili
A me non piace molto fare i calcoli (poi se scopro pure che la matrice hessiana non mi dà informazioni...) così cerco di trovare strade alternative. Ora provo a ragionare sul polinomio al''esponente
$4x-x^2-y^2$
se metti tutto tra i simboli del dollaro le formule sono più leggibili
ok, allora io ho fatto:
f'_x(x;y)= e^(4x-x^2-y^2)(4-2x)
f'_y(x;y)= e^(4x-x^2-y^2)(-2y)
nel sistema ho posto entrambi =0 e mi viene P0=(2;0)
f''_xx= e^(4x-x^2-y^2)(-2)
f''_yy= e^(4x-x^2-y^2)(-2)
f''_xy=?
f''_yx=?
f'_x(x;y)= e^(4x-x^2-y^2)(4-2x)
f'_y(x;y)= e^(4x-x^2-y^2)(-2y)
nel sistema ho posto entrambi =0 e mi viene P0=(2;0)
f''_xx= e^(4x-x^2-y^2)(-2)
f''_yy= e^(4x-x^2-y^2)(-2)
f''_xy=?
f''_yx=?
Per le derivate parziali miste non è difficile, ad esempio $f_(xy)$ prevede che tu derivi rispetto a $y$ ciò che hai già derivato rispetto a $x$. Tradotto, consideri le $x$ costanti. Nel tuo caso:
Per l'altra derivata parziale mista procedi esattamente allo stesso modo
$f_(xy)=(4-2x)e^(4x-x^2-y^2)(-2y)$,
Per l'altra derivata parziale mista procedi esattamente allo stesso modo
Grazie mille finalmente ho capito come si fa 
"Gabriele.Sciaguato":
Per l'altra derivata parziale mista procedi esattamente allo stesso modo
... è proprio necessario svolgere effettivamente quei calcoli?
No no basta così =)
Torniamo al dunque che mi dici del punto $P(2;0)$: è un massimo? Un minimo? Nè l'uno nè l'altro...
Se posso essere "cattivo", in realtà qui non c'è alcun bisogno di far calcoli...
Infatti, poiché \(4x-x^2-y^2=4-4+4x-x^2+y^2 = 4-(x-2)^2-y^2\), si ha:
\[
f(x,y)=e^4\ e^{-(x-2)^2-y^2}\; ;
\]
dato che \(-(x-2)^2-y^2\leq 0\), si ha \(e^{-(x-2)^2-y^2}\leq 1\) e perciò:
\[
f(x,y)\leq e^4=f(2,0)\; .
\]
Ne viene che \((2,0)\) è il massimo assoluto di \(f\) in \(\mathbb{R}^2\)
Infatti, poiché \(4x-x^2-y^2=4-4+4x-x^2+y^2 = 4-(x-2)^2-y^2\), si ha:
\[
f(x,y)=e^4\ e^{-(x-2)^2-y^2}\; ;
\]
dato che \(-(x-2)^2-y^2\leq 0\), si ha \(e^{-(x-2)^2-y^2}\leq 1\) e perciò:
\[
f(x,y)\leq e^4=f(2,0)\; .
\]
Ne viene che \((2,0)\) è il massimo assoluto di \(f\) in \(\mathbb{R}^2\)
è un massimo relativo giusto?
Direi pure assoluto, isn 't it?
Il nostro prof non si è addentrato molto nell'argomento, perchè dobbiamo riprenderlo in matematica 2, quindi ha detto di dire se sono min o max relativi 
Grazie mille per avermi aiutata, siete stati gentilissimi 
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