Nastro di Mobius e orientabilità secondo la definizione
Buongiorno ho tre domande sullo stesso argomento:
1) Definizione. Una superficie regolare e semplice $\Sigma$ $sub$ $RR^3$ dicesi orientabile se, prese due qualunque parametrizzazioni regolari e semplici, esse sono tra loro congruenti.
Es. Anello cilindrico di raggio 1 e altezza 2: $\vec σ$ : $[0, 2π]$ $xx$ $[−1, 1]$ $hArr$ $RR^3$ $ ,$ $\vec σ(u, v)$ $ = cos u$ $\vec i$ $+ sin u$ $\vec j$ $+ v $ $\vec k$ .
- Ma se prendo un'altra parametrizzazione regolare e semplice di $\Sigma$ come $[0, 2π)$ $xx$ $[−1, 1]$ che è iniettiva, si ha che le due parametrizzazioni sono ovviamente non congruenti, lo stesso vale per qualsiasi calotta come il nastro di Mobius. Dove sbaglio?
Inoltre per il nastro di Mobius nel testo si dice che non è orientabile perché ad esempio nel punto $\vec σ$ $ (0, 0) $ $ =$ $\vec σ$ $ (2π, 0) $ il vettore normale al piano tangente ha due versi opposti. Giusto, ma non so dimostrare perché non è orientabile secondo la definizione cioè se prese due qualunque parametrizzazioni regolari e semplici, esse non sono tra loro congruenti.
-Qualcuno sa dimostrare secondo la definizione che l'anello cilindrico è orientabile e il nastro di Mobius non lo è?
2) Ogni superficie (o calotta) regolare e semplice $\Sigma$ contenuta nella frontiera $del$ $\Omega$ di un aperto connesso e limitato $\Omega$ $sub$ $RR^3$ , è orientabile.
-Ma se considero un aperto connesso e limitato ottenuto da una sfera "di raggio grande" (perché deve contenere il nastro) e senza la sua frontiera, togliendo nel suo interno i punti corrispondenti alla superficie del nastro di Mobius ottengo che la frontiera di tale aperto contiene la superficie del nastro di Mobius.
1) Definizione. Una superficie regolare e semplice $\Sigma$ $sub$ $RR^3$ dicesi orientabile se, prese due qualunque parametrizzazioni regolari e semplici, esse sono tra loro congruenti.
Es. Anello cilindrico di raggio 1 e altezza 2: $\vec σ$ : $[0, 2π]$ $xx$ $[−1, 1]$ $hArr$ $RR^3$ $ ,$ $\vec σ(u, v)$ $ = cos u$ $\vec i$ $+ sin u$ $\vec j$ $+ v $ $\vec k$ .
- Ma se prendo un'altra parametrizzazione regolare e semplice di $\Sigma$ come $[0, 2π)$ $xx$ $[−1, 1]$ che è iniettiva, si ha che le due parametrizzazioni sono ovviamente non congruenti, lo stesso vale per qualsiasi calotta come il nastro di Mobius. Dove sbaglio?
Inoltre per il nastro di Mobius nel testo si dice che non è orientabile perché ad esempio nel punto $\vec σ$ $ (0, 0) $ $ =$ $\vec σ$ $ (2π, 0) $ il vettore normale al piano tangente ha due versi opposti. Giusto, ma non so dimostrare perché non è orientabile secondo la definizione cioè se prese due qualunque parametrizzazioni regolari e semplici, esse non sono tra loro congruenti.
-Qualcuno sa dimostrare secondo la definizione che l'anello cilindrico è orientabile e il nastro di Mobius non lo è?
2) Ogni superficie (o calotta) regolare e semplice $\Sigma$ contenuta nella frontiera $del$ $\Omega$ di un aperto connesso e limitato $\Omega$ $sub$ $RR^3$ , è orientabile.
-Ma se considero un aperto connesso e limitato ottenuto da una sfera "di raggio grande" (perché deve contenere il nastro) e senza la sua frontiera, togliendo nel suo interno i punti corrispondenti alla superficie del nastro di Mobius ottengo che la frontiera di tale aperto contiene la superficie del nastro di Mobius.
Risposte
Sul 2 hai ragione tu.
Sul 1 devi specificare cosa si intende per "parametrizzazioni congruenti". Anche ricordare la definizione di nastro di Möbius, con le relative formule, aiuterebbe.
Sul 1 devi specificare cosa si intende per "parametrizzazioni congruenti". Anche ricordare la definizione di nastro di Möbius, con le relative formule, aiuterebbe.
"dissonance":
Sul 2 hai ragione tu.
Sul 1 devi specificare cosa si intende per "parametrizzazioni congruenti". Anche ricordare la definizione di nastro di Möbius, con le relative formule, aiuterebbe.
Una superficie dicesi semplice se la restrizione di $\vec σ$ all’interno della regione $R$ è iniettiva. (Quindi una calotta, cioè una superficie definita su una regione compatta, può non essere iniettiva.)
Parametrizzazione= superficie, superficie= sostegno della superficie.
$\Sigma$ è una superficie regolare, e $\vec σ1$ : $R1$ $rarr$ $\Sigma$ e $\vec σ2$ : $R2$ $rarr$ $\Sigma$ sono due sue parametrizzazioni.
Definizione. Si dice che $\vec σ2$ è una parametrizzazione di $\Sigma$ congruente a $\vec σ1$ se esiste un cambiamento di variabile $\Phi$ : $R2$ $rarr$ $R1$ tale che $\vec σ2$ $=$ $\vec σ1$ $◦$ $\Phi$.
Se $\Sigma$ è una calotta, si richiederà che $\Phi$ sia la restrizione di un cambiamento di variabile che opera tra due aperti rispettivamente contenenti $R2$ e $R1$.
Sul 2) intendevano un'altra simile proprietà o è proprio errato dalla base? Grazie
Aggiornamento: forse sul 2) intendevano "convesso" e non "connesso".
Nastro di Mobius: $\vec σ$ : $[0, 2π]$ $×$ $[−1, 1]$ $rarr$ $R^3$
$\vec σ(u, v)$ $=$ $(1 − v/2 cos u/2 )cosu$ $\vec i$ $+$ $ (1 − v/2 cosu/2)sinu$ $\vec j$ $-$ $v/2 sinu/2$ $\vec k$
Con "convesso" invece di "connesso" cambia tutto. Il bordo di un aperto stellato rispetto a un punto, se regolare, è chiaramente orientabile. Tutti gli insiemi convessi sono banalmente stellati.
Quanto alla parametrizzazione, continui a fissarti su questi problemi "al bordo", che in realtà non fanno parte della geometria differenziale. Al paese mio le parametrizzazioni sono definite sugli aperti e una singola superficie ha più di una parametrizzazione. Comunque, il problema è sicuramente una semplice malinteso sulla definizione. Sei sicuro che la seconda parametrizzazione che hai scritto, quella su \([0, 2\pi)\), sia ammissibile dalla definizione che da il tuo libro? Secondo me non lo è.
Quanto alla parametrizzazione, continui a fissarti su questi problemi "al bordo", che in realtà non fanno parte della geometria differenziale. Al paese mio le parametrizzazioni sono definite sugli aperti e una singola superficie ha più di una parametrizzazione. Comunque, il problema è sicuramente una semplice malinteso sulla definizione. Sei sicuro che la seconda parametrizzazione che hai scritto, quella su \([0, 2\pi)\), sia ammissibile dalla definizione che da il tuo libro? Secondo me non lo è.
"dissonance":
Con "convesso" invece di "connesso" cambia tutto. Il bordo di un aperto stellato rispetto a un punto, se regolare, è chiaramente orientabile. Tutti gli insiemi convessi sono banalmente stellati.
Quanto alla parametrizzazione, continui a fissarti su questi problemi "al bordo", che in realtà non fanno parte della geometria differenziale. Al paese mio le parametrizzazioni sono definite sugli aperti e una singola superficie ha più di una parametrizzazione. Comunque, il problema è sicuramente una semplice malinteso sulla definizione. Sei sicuro che la seconda parametrizzazione che hai scritto, quella su \([0, 2\pi)\), sia ammissibile dalla definizione che da il tuo libro? Secondo me non lo è.
La parametrizzazione = superficie = funzione è certamente valida. Se mi chiede se è congruente alla prima, non lo è per via della seguente definizione in quanto se tolgo $2π$ , $\Phi$ non è una biiezione.
Definizione. Un campo vettoriale $\Phi$ $:$ $R$ $rarr$ $R'$ (dove $R'$ è un’altra
regione di $R^n$ , di interno $A'$ definisce un cambiamento di variabile, o cambiamento di coordinate, in $R$ se ha le seguenti proprietà:
i) $\Phi$ è una biiezione tra $R'$ e $R$;
ii) $\Phi$ è di classe $C^1$ in $A'$;
iii) $\Phi$ è regolare in $A'$, ossia la sua matrice jacobiana $J$ $\Phi$ è non singolare in
ogni punto di $A'$.
Ho fatto tale esempio perché il testo dice che l'anello cilindrico è orientabile ma ho dimostrato che non lo è secondo la definizione che ha dato e che ho riportato all'inizio del post, perché le due parametrizzazioni non sono congruenti.
Ma la cosa importante che vorrei sapere è se è possibile dimostrare che, prese due qualunque parametrizzazioni regolari e semplici, esse sono tra loro congruenti per l'anello e non per il nastro di Mobius come dovrebbe essere.
Ho trovato un'altra definizione, più chiara.
Def.1) Una superficie regolare $\Sigma$ si dice orientabile se, per ogni curva continua chiusa che giace sulla superficie, parametrizzata da $\vec r$ $:[a,b]$ $rarr$ $\Sigma$ si ha che $\vec n( \vec r(b))$ $=$ $\vec n( \vec r(a))$ .
Cioè se si segue il versore normale alla superficie lungo una curva chiusa che giace sulla superficie dopo un giro il versore normale risulta ancora puntato nello stesso verso.
Con questa definizione l'anello dell'esempio risulta orientabile mentre il nastro no. Quindi vorrei sapere, tralasciando il discorso sulla regione compatta di una calotta, se le due definizioni sono equivalenti e come si fa a dimostrare che l'anello rispetta Def.2) e il nastro non la rispetta.
Def.2) Una superficie regolare e semplice $\Sigma$ $sub$ $RR^3$ dicesi orientabile se, prese due qualunque parametrizzazioni regolari e semplici, esse sono tra loro congruenti.
Def.1) Una superficie regolare $\Sigma$ si dice orientabile se, per ogni curva continua chiusa che giace sulla superficie, parametrizzata da $\vec r$ $:[a,b]$ $rarr$ $\Sigma$ si ha che $\vec n( \vec r(b))$ $=$ $\vec n( \vec r(a))$ .
Cioè se si segue il versore normale alla superficie lungo una curva chiusa che giace sulla superficie dopo un giro il versore normale risulta ancora puntato nello stesso verso.
Con questa definizione l'anello dell'esempio risulta orientabile mentre il nastro no. Quindi vorrei sapere, tralasciando il discorso sulla regione compatta di una calotta, se le due definizioni sono equivalenti e come si fa a dimostrare che l'anello rispetta Def.2) e il nastro non la rispetta.
Def.2) Una superficie regolare e semplice $\Sigma$ $sub$ $RR^3$ dicesi orientabile se, prese due qualunque parametrizzazioni regolari e semplici, esse sono tra loro congruenti.
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