\( |\nabla f (x) | \le |x|^{-n-1} \Longrightarrow |f(x)| \le C |x|^{-n}\)
Supponiamo che \(f \in \mathcal{C}^1 (\mathbb{R}^n \setminus \{ 0 \} )\), \(| \nabla f(x) | \le |x|^{-n-1}\) per \( x \ne 0\) e che \(\int_{|x|=r} f(x) \, dx = 0 \ \forall \, r>0\).
Vorrei mostrare che \(|f(x)|\le C |x|^{-n}\) per una certa costante \(C >0 \).
Una strada potrebbe essere un integrale di linea, ma ad un certo punto non riesco ad aggirare gli ostacoli: infatti se \(\mathbf{r}(t) : [a,b] \to C\) è una parametrizzazione biiettiva della curva \(C\), \(a\) fissato e \(\mathbf{r}(b)=x\), si ha \[| f(x) - f(\mathbf{r}(a)) | = \left| \int_C \nabla f( \mathbf{r}) \cdot d \mathbf{r} \right| \le \int_a^b | \mathbf{r}' (t) |/ |\mathbf{r}(t)|^{n+1} \, dt \]ma da qui non si va da nessuna parte, perché l'integranda RHS non è la derivata di niente... e inoltre non sto usando un'ipotesi. Se invece integro su volumi usando l'integrazione per parti (versione multidimensionale mutuata dal teorema della divergenza) riesco ad usare tutte le ipotesi, ma mi pianto contro un muro comunque
Qualche idea?
Vorrei mostrare che \(|f(x)|\le C |x|^{-n}\) per una certa costante \(C >0 \).
Una strada potrebbe essere un integrale di linea, ma ad un certo punto non riesco ad aggirare gli ostacoli: infatti se \(\mathbf{r}(t) : [a,b] \to C\) è una parametrizzazione biiettiva della curva \(C\), \(a\) fissato e \(\mathbf{r}(b)=x\), si ha \[| f(x) - f(\mathbf{r}(a)) | = \left| \int_C \nabla f( \mathbf{r}) \cdot d \mathbf{r} \right| \le \int_a^b | \mathbf{r}' (t) |/ |\mathbf{r}(t)|^{n+1} \, dt \]ma da qui non si va da nessuna parte, perché l'integranda RHS non è la derivata di niente... e inoltre non sto usando un'ipotesi. Se invece integro su volumi usando l'integrazione per parti (versione multidimensionale mutuata dal teorema della divergenza) riesco ad usare tutte le ipotesi, ma mi pianto contro un muro comunque
Qualche idea?
Risposte
Come diceva il mio capo: "Prima vedi cosa succede con $n=1$ e $n=2$, poi cerchi di generalizzare"
Non vorrei dire cavolate ma intuitivamente mi verrebbe da dire che se $\int_{\gamma_r}f(x)ds=0$ per ogni $r>0$ allora esiste un punto $\delta \in S_r^{n+1}$ tale che $f(\delta)=0$. Poiché $f \in C^1(RR^n - O)$ allora esiste $C>0$ tale che $||f(x)-f(\delta)|| \leq C||\nabla f(x)||||x-\delta||\leqC||\nabla f(x)||||x||+C||\delta||\leq C||x||^{-n}+C||\delta$ con $x \in RR^n-O$ e $||\delta||=r$ per arbitrarietà di $r$ abbiamo la tesi.
"dan95":
[...] se $\int_{|x|=r} f(x) dS=0$ per ogni $r>0$ allora esiste un punto $\delta \in S_r^{n-1}$ tale che $f(\delta)=0$. [...]
Come giustifichi questo passaggio?
Eh...è proprio quello che non riesco a fare, forse con la media integrale...
Più che altro la proprietà di cancellazione mi sembra una condizione piuttosto forte che non stai sfruttando appieno. Sospetto che il problema avrebbe avuto una formulazione differente, se fosse stato possibile dimostrare la tesi in OP con delle condizioni più deboli. Non appena finisco di smaltire i postumi della sbronza di ieri ci torno.
"Delirium":
[quote="dan95"][...] se $\int_{|x|=r} f(x) dS=0$ per ogni $r>0$ allora esiste un punto $\delta \in S_r^{n-1}$ tale che $f(\delta)=0$. [...]
Come giustifichi questo passaggio?[/quote]
Potrebbe essere la stanchezza, ma non vedo la difficoltà nel provare questa cosa: se \(f\) ha media nulla, allora o è tutta nulla o cambia segno; se è continua, concludi col teorema di esistenza degli zeri.
@dan95: così dovrebbesi provare un risultato parziale: se \(x, y \in \mathbb{R}^n\), si ha \[f(x) - f(y) \le C |\nabla f (x) | |x-y| \le C | \nabla f(x) | ( |x| + |y| ) \le C/|x|^{n} + C |y| / |x|^{n+1} \qquad [1] \]Ora \(x\) è fissato, e integro both sides su una sfera di raggio \(r\) in \(d S(y)\) (semplifico già la misura di tale superficie): \[\int_{|y|=r} f(x) \, d S(y) - \underbrace{\int_{|y|=r} f(y) \, d S(y)}_{=0} \le C \int_{|y|=r} \left[ \frac{1}{|x|^n} + \frac{|y|}{|x|^{n+1}} \right] \, dS(y) \]che rende \[f(x) \le C \left[ \frac{1}{|x|^{n}} + \frac{r}{|x|^{n+1}} \right]. \]Siccome \(r\) è arbitrario se ne conclude che \[f(x) \le C/|x|^n. \]Però, chiaramente, questo non basta.
@Raptorista: credo tu (e quindi dan95) abbia(te) ragione. Provo a formalizzare (sarò verboso): se \(S_r ^{n-1} = \{ x \in \mathbb{R}^n \, : \, |x|=r\} \), allora \(\mu (S^{n-1} _r )>0\), ove \(\mu\) è la misura di Lebesgue. Se \[\int_{S^{n-1} _r} f \, d \mu = \underbrace{\int_{ S_1 = \{x \in S^{n-1} _r \, : \, f(x) > 0 \} } f \, d \mu}_{=I_1} + \underbrace{\int_{ S_2=\{x \in S^{n-1} _r \, : \, f(x) < 0 \} } f \, d \mu}_{=I_2} + \underbrace{\int_{ \{x \in S^{n-1} _r \, : \, f(x) = 0 \} } f \, d \mu}_{=I_3 = 0} = 0 \]si ha \(I_1 = I_2 = 0 \), ma allora \(\mu ( \{x \in S^{n-1} _r \, : \, f(x) > 0 \} ) = 0 = \mu ( \{x \in S^{n-1} _r \, : \, f(x) < 0 \} ) \), assurdo visto che i due insiemi sono disgiunti e la misura additiva. Ne segue che \(S_1\) e \(S_2\) sono "grossi" (ed in particolare non vuoti). Siccome \(f\) è continua e \(S^{n-1} _r\) connesso, si ha la tesi. Se non ho scritto idiozie, l'esercizio è risolto - \([1]\) sostituisce la riga di disuguaglianze di dan95, che mi pare sbagliata alla fine dopo l'ultimo \(\le\).
@Raptorista: credo tu (e quindi dan95) abbia(te) ragione. Provo a formalizzare (sarò verboso): se \(S_r ^{n-1} = \{ x \in \mathbb{R}^n \, : \, |x|=r\} \), allora \(\mu (S^{n-1} _r )>0\), ove \(\mu\) è la misura di Lebesgue. Se \[\int_{S^{n-1} _r} f \, d \mu = \underbrace{\int_{ S_1 = \{x \in S^{n-1} _r \, : \, f(x) > 0 \} } f \, d \mu}_{=I_1} + \underbrace{\int_{ S_2=\{x \in S^{n-1} _r \, : \, f(x) < 0 \} } f \, d \mu}_{=I_2} + \underbrace{\int_{ \{x \in S^{n-1} _r \, : \, f(x) = 0 \} } f \, d \mu}_{=I_3 = 0} = 0 \]si ha \(I_1 = I_2 = 0 \), ma allora \(\mu ( \{x \in S^{n-1} _r \, : \, f(x) > 0 \} ) = 0 = \mu ( \{x \in S^{n-1} _r \, : \, f(x) < 0 \} ) \), assurdo visto che i due insiemi sono disgiunti e la misura additiva. Ne segue che \(S_1\) e \(S_2\) sono "grossi" (ed in particolare non vuoti). Siccome \(f\) è continua e \(S^{n-1} _r\) connesso, si ha la tesi. Se non ho scritto idiozie, l'esercizio è risolto - \([1]\) sostituisce la riga di disuguaglianze di dan95, che mi pare sbagliata alla fine dopo l'ultimo \(\le\).
Un risultato più facile da dimostrare: se \(|f(x)|\to 0\) per \(|x|\to \infty\) e \( \lvert \nabla f(x)\rvert \le C \lvert x \rvert^{-n-1}\) allora \(\lvert f(x)\rvert \le C \lvert x\rvert^{-n}\) (la costante \(C>0\) potrebbe non essere la stessa).
Dimostrazione: uno fissa \(|\omega|=1\) e scrive
\[
f(r\omega)=-\int_r^\infty \omega\cdot \nabla f(r'\omega)\, dr', \]
eccetera.
HTH
Dimostrazione: uno fissa \(|\omega|=1\) e scrive
\[
f(r\omega)=-\int_r^\infty \omega\cdot \nabla f(r'\omega)\, dr', \]
eccetera.
HTH
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