N^3/2^n è monotona?
Devo stabilire se la seguente successione è monotona, almeno definitivamente.
\(\displaystyle n^3/2^n \)
Ho impostato il problema così:
\(\displaystyle (n+1)^3/{2^{n+1}} > n^3/2^n \)
solo che non riesco a risolvere la disequazione, dato che ottengo:
\(\displaystyle -n^3+3n^2+3n+1>0 \)
\(\displaystyle n^3/2^n \)
Ho impostato il problema così:
\(\displaystyle (n+1)^3/{2^{n+1}} > n^3/2^n \)
solo che non riesco a risolvere la disequazione, dato che ottengo:
\(\displaystyle -n^3+3n^2+3n+1>0 \)
Risposte
Meglio così[nota]a meno di errori di calcolo.[/nota]:
\[\dfrac{(n+1)^3}{2^{n+1}}=\text{[noiosi calcoli]}=\dfrac{n^3}{2^n}\cdot\left(\underbrace{\dfrac{n+1}{\sqrt[3]{2} n}}_{<1\ \text{per}\ n\ge 2,3,\ \text{boh}}\right)^3<\dfrac{n^3}{2^n}\]
\[\dfrac{(n+1)^3}{2^{n+1}}=\text{[noiosi calcoli]}=\dfrac{n^3}{2^n}\cdot\left(\underbrace{\dfrac{n+1}{\sqrt[3]{2} n}}_{<1\ \text{per}\ n\ge 2,3,\ \text{boh}}\right)^3<\dfrac{n^3}{2^n}\]
Grazie!
Solo che ho sue problemi non indifferenti:
- stabilire che quella parentesi alla terza dia qualcosa < 1 è difficile a mano (temo che il prof non consenta usi di calcolatrici)
- non sono riuscito a capire come sei arrivato lì
Magari (e dico magari perché non lo so) c'è qualche strana "scorciatoia" che ci sfugge.
Solo che ho sue problemi non indifferenti:
- stabilire che quella parentesi alla terza dia qualcosa < 1 è difficile a mano (temo che il prof non consenta usi di calcolatrici)
- non sono riuscito a capire come sei arrivato lì
Magari (e dico magari perché non lo so) c'è qualche strana "scorciatoia" che ci sfugge.
"collimarco":
- stabilire che quella parentesi alla terza dia qualcosa < 1 è difficile a mano (temo che il prof non consenta usi di calcolatrici)
- non sono riuscito a capire come sei arrivato lì
Il fatto che la roba in parentesi sia $<1$ si nota subito, ma se non sei convinto puoi dimostrarlo per induzione.
Invece:
\[\dfrac{(n+1)^3}{2^{n+1}}=\dfrac{(n(1+1/n))^3}{2\cdot 2^{n}}=\dfrac{n^3}{2^{n}}\cdot\dfrac{(1+1/n)^3}{2}=\dfrac{n^3}{2^{n}}\cdot\dfrac{(\frac{n+1}{n})^3}{(\sqrt[3]{2})^3}=\text{[ciò che ho scritto prima]}\]
Okay?
io in genere per scoprire se una serie è monotona (definitivamente) faccio $ a_(n+1)/a_n $ e se mi accorgo che dopo un certo n la divisione dà sempre un numero maggiore (o minore) di 1 la serie è definitivamente monotona crescente (o decrescente). in questo caso è semplicissimo notarlo:
$ (n+1)^3/2^(n+1)*2^n/n^3=1/2*((n+1)/n)^3=1/2*(1+1/n)^3 $ ti accorgi subito che il termine al cubo per n grandi tende a 1 (e quindi è minore di 2). infatti per n=4 $ 1/2*(5/4)^3=1/2*125/64=125/128 $ e sapendo che 1+1/n è monotona decrescente sai anche che per n>=4 la tua serie è definitivamente monotona decrescente.
in pratica il procedimento è diverso, ma alla fine è la stessa cosa che ti ha detto Plepp. Secondo me però il metodo della divisione in molti casi semplifica le cose in quanto (specie quando ci sono degli esponenziali) si semplificano numeratore e denominatore. ciao!
$ (n+1)^3/2^(n+1)*2^n/n^3=1/2*((n+1)/n)^3=1/2*(1+1/n)^3 $ ti accorgi subito che il termine al cubo per n grandi tende a 1 (e quindi è minore di 2). infatti per n=4 $ 1/2*(5/4)^3=1/2*125/64=125/128 $ e sapendo che 1+1/n è monotona decrescente sai anche che per n>=4 la tua serie è definitivamente monotona decrescente.
in pratica il procedimento è diverso, ma alla fine è la stessa cosa che ti ha detto Plepp. Secondo me però il metodo della divisione in molti casi semplifica le cose in quanto (specie quando ci sono degli esponenziali) si semplificano numeratore e denominatore. ciao!
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