N > log n

[Quinzio]

Mi sfugge come dimostrare che $n >log n, \ \ \ n \in \mathbb{N}$
Non deve essere difficile, ma non riesco a ricordare o a capire come si fa .... thanks

[j18eos]

Se ci fai caso il problema equivale a dimostrare che \(e^n>n\) il che è molto più semplice!

[Quinzio]

"j18eos":Se ci fai caso il problema equivale a dimostrare che \(e^n>n\) il che è molto più semplice!

Ok.

Quindi posso ad esmepio dimostrarlo in modo induttivo:
Passo base:
$e^1= e>1$

Passo induttivo:
Ipotesi:
$e^n > n$
Tesi:
$e^{n+1}>n+1$

Dim.:
[tex]e^{n+1} = e\ e^n > 2e^n = e^n + e^n > n + n > n + 1[/tex]

Regole usate nel passaggio:
1) prop. algebriche
2) $e > 2$
3) prop. algebriche
4) ipotesi
5) n>1

Direi che è completa, di passaggi ne ho messi

[Seneca1]

Oppure una dimostrazione analitica... $log(x) < x$, $AA x in RR^+$

Consideriamo $f(x) = log(x)$ e scriviamo l'equazione della retta $g$ tangente al grafico del logaritmo nel punto $1$.

$f'(1) = 1$ quindi $g(x) - f(1) = f'(1) ( x - 1 )$

ovvero $g(x) = x - 1 $ .

La funzione $f$ è una funzione concava nel proprio insieme di definizione, infatti $f''(x) < 0 $ , $AA x > 0$. Per le proprietà delle funzioni convesse (concave) si ottiene che:

$x > g(x) >= f(x)$, $AA x > 0$.

[Gi81]

Oppure si può dimostrare che $f(x)=x-log(x)$ è maggiore di $0$ per ogni $x in [1,+oo)$
Semplicemente:
1) $f(1)=1>0$
2) $f'(x)=1-1/x>0$ per ogni $x >1$

Fine