MVP delle funzioni armoniche: solo sulle sfere?
Una curiosità. Come sappiamo una funzione armonica [tex]u\colon U \to \mathbb{R}[/tex] verifica la proprietà della media (MVP): per ogni [tex]r >0[/tex] sufficientemente piccolo si ha
[tex]$u(x)=\frac{1}{\lvert \partial B(x;r)\rvert} \int_{\partial B(x; r)} u(y)\, dS(y)[/tex],
dove [tex]B(x;r)[/tex] è la sfera di centro [tex]x[/tex] e raggio [tex]r[/tex]. Mi chiedevo se fosse proprio necessario considerare delle sfere o se proprietà analoghe valessero anche per altre classi di figure geometriche.
Per esempio: se invece delle sfere prendiamo dei cubi? Vale ancora la proprietà della media?
La dimostrazione della MVP fa uso in modo essenziale della geometria delle sfere, e lo stesso vale per una interpretazione fisica di questa proprietà che trovai tempo fa su un libro (clic). Questo mi farebbe credere che la proprietà suddetta valga solo sulle sfere e non su altre figure.
[tex]$u(x)=\frac{1}{\lvert \partial B(x;r)\rvert} \int_{\partial B(x; r)} u(y)\, dS(y)[/tex],
dove [tex]B(x;r)[/tex] è la sfera di centro [tex]x[/tex] e raggio [tex]r[/tex]. Mi chiedevo se fosse proprio necessario considerare delle sfere o se proprietà analoghe valessero anche per altre classi di figure geometriche.
Per esempio: se invece delle sfere prendiamo dei cubi? Vale ancora la proprietà della media?
La dimostrazione della MVP fa uso in modo essenziale della geometria delle sfere, e lo stesso vale per una interpretazione fisica di questa proprietà che trovai tempo fa su un libro (clic). Questo mi farebbe credere che la proprietà suddetta valga solo sulle sfere e non su altre figure.
Risposte
La questione non sembra essere proprio banale, stando a questa discussione che trovo su un altro forum (questa riguarda il caso bidimensionale, si parla di cerchi e quadrati invece che di sfere e cubi):
http://www.ocf.berkeley.edu/~wwu/cgi-bi ... 1144059782
http://www.ocf.berkeley.edu/~wwu/cgi-bi ... 1144059782
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