Moto accelerato
Un corpo che parte da fermo ha un'accelerazione che è istante per istante pari a
$ a=\frac{1}{d^2} $
dove d è la distanza del corpo dall'origine. Dopo quanto tempo arriva a d=1m?
Ho provato a risolvere l'equazione differenziale $\frac{d^2x(t)}{dt^2}=\frac{1}{x^2(t)} $ ma non ne sono uscito, mi perdo poi a trovare i valori delle costanti di integrazione perchè mi vengono logaritmi negativi, radici infinite ecc.
Secondo Wolfram la risoluzione dell'equazione differenziale è
$ (\frac{x(t) \sqrt{c_1 -\frac{2}{x(t)}}}{c_1}+\frac{\ln(\sqrt{c_1}x(t)\sqrt{c_1-\frac{2}{x(t)}}+c_1x(t)-1)}{c_1^\frac{3}{2}})^2=(c_2+t)^2 $
e a questo punto mi perdo nel trovare c1 e c2
$ a=\frac{1}{d^2} $
dove d è la distanza del corpo dall'origine. Dopo quanto tempo arriva a d=1m?
Ho provato a risolvere l'equazione differenziale $\frac{d^2x(t)}{dt^2}=\frac{1}{x^2(t)} $ ma non ne sono uscito, mi perdo poi a trovare i valori delle costanti di integrazione perchè mi vengono logaritmi negativi, radici infinite ecc.
Secondo Wolfram la risoluzione dell'equazione differenziale è
$ (\frac{x(t) \sqrt{c_1 -\frac{2}{x(t)}}}{c_1}+\frac{\ln(\sqrt{c_1}x(t)\sqrt{c_1-\frac{2}{x(t)}}+c_1x(t)-1)}{c_1^\frac{3}{2}})^2=(c_2+t)^2 $
e a questo punto mi perdo nel trovare c1 e c2
Risposte
Ciao Nickbru,
Scusa, ma che formula stai usando per impostare l'equazione differenziale?
Onestamente partirei da quella del moto accelerato (che dovresti sapere):
$x(t) = \dot{x}_0 t + 1/2 at^2 $
Poi
Quindi nel tuo caso $\dot{x}_0 = v_0 = 0 $ e la formula si semplifica ulteriormente:
$x(t) = 1/2 at^2 $
Scusa, ma che formula stai usando per impostare l'equazione differenziale?
Onestamente partirei da quella del moto accelerato (che dovresti sapere):
$x(t) = \dot{x}_0 t + 1/2 at^2 $
Poi
"Nickbru":
Un corpo che parte da fermo [...]
Quindi nel tuo caso $\dot{x}_0 = v_0 = 0 $ e la formula si semplifica ulteriormente:
$x(t) = 1/2 at^2 $
@ pilloeffe: Guarda che il moto non è uniformemente accelerato.
Visto che l'accelerazione è in funzione della posizione, cioè
\[
a(x)=\frac{1}{x^2},
\]
io proverei a sfruttare il fatto che
\[
a=v\frac{dv}{dx}
\]
da cui
\[
\int vdv=\int a dx=\int \frac{1}{x^2} dx.
\]
Dunque $v(x)=\sqrt{c-\frac{2}{x}}$. Da qui riesci a proseguire?
\[
a(x)=\frac{1}{x^2},
\]
io proverei a sfruttare il fatto che
\[
a=v\frac{dv}{dx}
\]
da cui
\[
\int vdv=\int a dx=\int \frac{1}{x^2} dx.
\]
Dunque $v(x)=\sqrt{c-\frac{2}{x}}$. Da qui riesci a proseguire?
"Pierlu11":
Dunque $v(x)=\sqrt{c-\frac{2}{x}}$. Da qui riesci a proseguire?
qui sono arrivato pure io (infatti è il fattore che compare pure nella risoluzione completa fatta da Wolfram), il problema è a questo punto determinare c, perché l'unica cosa nota è che per x=0 v=0, ma in questo caso viene qualcosa del tipo
$\lim_{x \rightarrow 0}v_0=\lim_{x \rightarrow 0}\sqrt{c-\frac{2}{x}} $ che direi non abbia soluzioni nei reali (o nei complessi)
"pilloeffe":
Scusa, ma che formula stai usando per impostare l'equazione differenziale?
forse non era chiaro il testo, ma si intende che è pari a 1/x^2 istante per istante, quindi ha un'accelerazione variabile. Sono partito dal fatto che $\ddot{x}=a$
Sicuro che parte da fermo dall'origine e non da un altro punto (anche perché lì non è neppure definita l'accelerazione)?
"Pierlu11":
Sicuro che parte da fermo dall'origine e non da un altro punto (anche perché lì non è neppure definita l'accelerazione)?
Ok forse è da intendersi al contrario, quindi parte da x=1 e arriva a x=0. Adesso che l'ho riletto meglio dice che d è la distanza dalla parete, non dall'origine. Colpa mia.
Quindi, a questo punto, si ottiene che $x_0=1$ e $v_0=0$
dunque $\sqrt{c-\frac{2}{x}}=\sqrt{c-2}=0 \Rightarrow c=2$
Ora risolvendo l'equazione differenziale $\frac{dx}{dt}=\sqrt{2 (1-\frac{1}{x})} $ si dovrebbe ottenere
$t=\frac{\sqrt{x-1} \sqrt{x}+\ln{\sqrt{x-1}+\sqrt{x}}}{\sqrt 2} - c_1$
Imponendo che per t=0 sia x=1 dovrebbe essere che
$c_1=0$ perché il numeratore della frazione è nullo
A questo punto però non posso determinare t per quando x=0 perché la funzione è definita per $x \geq 1$
Potrei dire che se la parete è distante 1 metro io debba trovare t per x=2 ma è un po' una forzatura.
In questo caso comunque sarebbe
$t(x=2)=1+\frac{\ln(1+\sqrt2)}{\sqrt2}$ che è circa 1,62.
Tuttavia un ragazzo mi ha detto di aver usato un programma in c++ e ha trovato 1,12 circa (non lo conosco, per cui non so se fidarmi).
Chiedo scusa, ho preso un abbaglio: in effetti $a $ non può essere costante visto che è funzione di $x^2(t) $... 
Beh no, per $t = 0 $ si ha $v_0 = \dot{x}(0) = 0 $: quindi non è che ha ragione Pierlu11 ed è $ x(0) = d \ne 0 $?
"Nickbru":
perché l'unica cosa nota è che per x=0 v=0
Beh no, per $t = 0 $ si ha $v_0 = \dot{x}(0) = 0 $: quindi non è che ha ragione Pierlu11 ed è $ x(0) = d \ne 0 $?
"pilloeffe":
quindi non è che ha ragione Pierlu11 ed è $ x(0) = d \ne 0 $?
Si ha proprio ragione, me ne sono accorto dopo, comunque ho provato a rispondere con questa nuova condizione ma c'è ancora il dubbio se x aumenta da 1 a 2 oppure va da 1 a 0
In $x=0$ il punto non può proprio passare (la forza che subisce è simile a quella di una carica puntiforme o di una massa puntiforme) quindi suppongo che da $x=1$ passi a $x=2$... in questo modo il risultato che ottengo è proprio $t=1,12 s$ (con le dovute approssimazioni).
"Nickbru":
c'è ancora il dubbio se $x$ aumenta da $1$ a $2$ oppure va da $1$ a $0$
Ma scusa, se la domanda è
"Nickbru":
dove d è la distanza del corpo dall'origine. Dopo quanto tempo arriva a d=1m?
e $x(0) = d $ occorrerà distinguere i due casi in cui $d < 1 $ o $d > 1 $: da $0 $ non passa...
"Pierlu11":
In $x=0$ il punto non può proprio passare (la forza che subisce è simile a quella di una carica puntiforme o di una massa puntiforme) quindi suppongo che da $x=1$ passi a $x=2$... in questo modo il risultato che ottengo è proprio $t=1,12 s$ (con le dovute approssimazioni).
Che cosa hai fatto di diverso da me per ottenere 1,12?
Ho ora chiesto maggiori informazioni dal ragazzo con cui sto discutendo del problema (su Quora per chi conoscesse) e lui dice proprio che va dal punto $x_0=d=1$ al punto $x_1=0$
Ricontrolla l'integrale
\[
\frac{1}{\sqrt{2}}\int\sqrt{\frac{x}{x-1}}dx.
\]
Ponendo $k=\sqrt{\frac{x}{x-1}}$ di ottiene che
\[
dx=\frac{-2k}{1-k^2}dk
\]
dunque
\[
\int\sqrt{\frac{x}{x-1}}dx=\int \frac{-2k^2}{1-k^2}dk.
\]
Risolvendo l'integrale (di una frazione algebrica) a me viene
\[
\frac{1}{\sqrt{2}}\biggl(2\sqrt{\frac{x}{x-1}}+ln\biggl|\sqrt{\frac{x}{x-1}}-1\biggr|-ln\biggl|\sqrt{\frac{x}{x-1}}+1\biggr|\biggr)+c.
\]
\[
\frac{1}{\sqrt{2}}\int\sqrt{\frac{x}{x-1}}dx.
\]
Ponendo $k=\sqrt{\frac{x}{x-1}}$ di ottiene che
\[
dx=\frac{-2k}{1-k^2}dk
\]
dunque
\[
\int\sqrt{\frac{x}{x-1}}dx=\int \frac{-2k^2}{1-k^2}dk.
\]
Risolvendo l'integrale (di una frazione algebrica) a me viene
\[
\frac{1}{\sqrt{2}}\biggl(2\sqrt{\frac{x}{x-1}}+ln\biggl|\sqrt{\frac{x}{x-1}}-1\biggr|-ln\biggl|\sqrt{\frac{x}{x-1}}+1\biggr|\biggr)+c.
\]
e in questo caso come determini c dato che non è possibile usare il fatto che a t=0 sia x=1 (per il denominatore della radice)?
"Nickbru":
Ho ora chiesto maggiori informazioni dal ragazzo con cui sto discutendo del problema (su Quora per chi conoscesse) e lui dice proprio che va dal punto $x_0=d=1 $ al punto $x_1=0$
Negativo. Rileggi il testo del problema che hai proposto:
"Nickbru":
Un corpo che parte da fermo ha un'accelerazione che è istante per istante pari a
$a=1/d^2 $
dove d è la distanza del corpo dall'origine. Dopo quanto tempo arriva a d=1m?
Se il testo è corretto, questo significa che il corpo parte all'istante $t = 0 $ con una distanza $x(0) = x_0 $ (che prima ho chiamato $d$ ma naturalmente puoi chiamarla come preferisci) e dopo un certo periodo di tempo, diciamo $t_f$, arriva a $x(t_f) = d = 1\text{ m} $. Dando per scontato che essendo una distanza è certamente una quantità positiva (nulla non può essere per ciò che si è già detto nei post precedenti) la domanda è: arriva da dove? Da valori maggiori di 1 metro, cioè per intenderci nell'intervallo $(1, +\infty) $, o da valori minori di 1 metro, cioè per intenderci nell'intervallo $(0, 1)$?
d è la distanza dalla parete, non dall'origine, mi ero confuso io nel riportare il testo del problema. é per questo che dicevo che
o va da 1 a 0 (l'asse è orientato in verso opposto al verso della traiettoria del corpo)
o va da 1 a 2 (asse e traiettoria equiversi)
o va da 1 a 0 (l'asse è orientato in verso opposto al verso della traiettoria del corpo)
o va da 1 a 2 (asse e traiettoria equiversi)
Ma è il testo originale questo? Ma chi è l'ignorante che scrive certi problemi? Quora poi...
Non lo so io ho solo riportato il testo per curiosità qua, non so da dove l'autore della domanda lo abbia tirato fuori
E' chiaramente scritto coi piedi, il fatto che ci siano 20 messaggi in questa discussione che tentano di risolverlo senza sapere le condizioni iniziali la dice lunga...
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