Moto accelerato
Un corpo che parte da fermo ha un'accelerazione che è istante per istante pari a
$ a=\frac{1}{d^2} $
dove d è la distanza del corpo dall'origine. Dopo quanto tempo arriva a d=1m?
Ho provato a risolvere l'equazione differenziale $\frac{d^2x(t)}{dt^2}=\frac{1}{x^2(t)} $ ma non ne sono uscito, mi perdo poi a trovare i valori delle costanti di integrazione perchè mi vengono logaritmi negativi, radici infinite ecc.
Secondo Wolfram la risoluzione dell'equazione differenziale è
$ (\frac{x(t) \sqrt{c_1 -\frac{2}{x(t)}}}{c_1}+\frac{\ln(\sqrt{c_1}x(t)\sqrt{c_1-\frac{2}{x(t)}}+c_1x(t)-1)}{c_1^\frac{3}{2}})^2=(c_2+t)^2 $
e a questo punto mi perdo nel trovare c1 e c2
$ a=\frac{1}{d^2} $
dove d è la distanza del corpo dall'origine. Dopo quanto tempo arriva a d=1m?
Ho provato a risolvere l'equazione differenziale $\frac{d^2x(t)}{dt^2}=\frac{1}{x^2(t)} $ ma non ne sono uscito, mi perdo poi a trovare i valori delle costanti di integrazione perchè mi vengono logaritmi negativi, radici infinite ecc.
Secondo Wolfram la risoluzione dell'equazione differenziale è
$ (\frac{x(t) \sqrt{c_1 -\frac{2}{x(t)}}}{c_1}+\frac{\ln(\sqrt{c_1}x(t)\sqrt{c_1-\frac{2}{x(t)}}+c_1x(t)-1)}{c_1^\frac{3}{2}})^2=(c_2+t)^2 $
e a questo punto mi perdo nel trovare c1 e c2
Risposte
"Nickbru":
Non lo so io ho solo riportato il testo per curiosità
Se però il testo che hai riportato non è quello corretto, potresti riportare il testo del problema originale?
Per risolvere qualsiasi problema occorre innanzitutto che il testo sia quello corretto, poi bisogna leggerlo per bene (eventualmente anche più di una volta), interpretarlo correttamente e solo successivamente impostare le equazioni per cercare di risolverlo tenendo conto delle condizioni iniziali.
Ripercorriamo con ordine.
Abbiamo un corpo avente accelerazione $a(x)=\frac{1}{x^2}$ essendo $x$ la distanza da una parete che possiamo collocare nell'origine. Tale copro parte dalla posizione $x_0=1$ con velocità nulla e bisogna calcolare il tempo per giungere al punto in $x=2$.
Allora, come osservato,
\[
\int_{0}^{v(x)} vdv=\int_{1}^x \frac{1}{x^2}dx
\]
da cui
\[
\frac{1}{2}v^2(x)=-\frac{1}{x}+1
\]
cioè $v(x)=\sqrt{2-\frac{2}{x}}$.
Ora
\[
a=\biggl(\frac{1}{x}\biggr)^2=\biggl(1-\frac{1}{2}v^2\biggr)^2
\]
e
\[
\int_0^t dt=\int_0^1\frac{1}{a(v)}dv
\]
(poichè $v(2)=1$). Dunque
\[
t=4\int_0^1\frac{1}{(2-v^2)^2}dv,
\]
\[
t=\biggl[\frac{1}{4}\biggl(\frac{4v}{2-v^2}-\sqrt{2}ln(\sqrt{2}-v)+\sqrt{2}ln(\sqrt{2}+v)\biggr)\biggr]_0^1,
\]
\[
t=\frac{1}{4}\biggl(4+\sqrt{2}ln\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1}\biggr)=1.6232...
\]
Penso che le condizioni che ho messo siano le più sensate visto che con'accelerazione del genere e una velocità nulla in $x_0=1$ gli unici punti che il corpo può raggiungere sono quelli in $x>1$ e lo zero non potrebbe raggiungerlo per nessun valore finito della velocità.
P.S. Le critiche inutili e le lamentele le trovo più sgradevoli di un testo poco chiaro. Meglio discutere e tentare di arrivare ad una soluzione anziché dare giudizi inopportuni.
Abbiamo un corpo avente accelerazione $a(x)=\frac{1}{x^2}$ essendo $x$ la distanza da una parete che possiamo collocare nell'origine. Tale copro parte dalla posizione $x_0=1$ con velocità nulla e bisogna calcolare il tempo per giungere al punto in $x=2$.
Allora, come osservato,
\[
\int_{0}^{v(x)} vdv=\int_{1}^x \frac{1}{x^2}dx
\]
da cui
\[
\frac{1}{2}v^2(x)=-\frac{1}{x}+1
\]
cioè $v(x)=\sqrt{2-\frac{2}{x}}$.
Ora
\[
a=\biggl(\frac{1}{x}\biggr)^2=\biggl(1-\frac{1}{2}v^2\biggr)^2
\]
e
\[
\int_0^t dt=\int_0^1\frac{1}{a(v)}dv
\]
(poichè $v(2)=1$). Dunque
\[
t=4\int_0^1\frac{1}{(2-v^2)^2}dv,
\]
\[
t=\biggl[\frac{1}{4}\biggl(\frac{4v}{2-v^2}-\sqrt{2}ln(\sqrt{2}-v)+\sqrt{2}ln(\sqrt{2}+v)\biggr)\biggr]_0^1,
\]
\[
t=\frac{1}{4}\biggl(4+\sqrt{2}ln\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1}\biggr)=1.6232...
\]
Penso che le condizioni che ho messo siano le più sensate visto che con'accelerazione del genere e una velocità nulla in $x_0=1$ gli unici punti che il corpo può raggiungere sono quelli in $x>1$ e lo zero non potrebbe raggiungerlo per nessun valore finito della velocità.
"gtx":
E' chiaramente scritto coi piedi, il fatto che ci siano 20 messaggi in questa discussione che tentano di risolverlo senza sapere le condizioni iniziali la dice lunga...
P.S. Le critiche inutili e le lamentele le trovo più sgradevoli di un testo poco chiaro. Meglio discutere e tentare di arrivare ad una soluzione anziché dare giudizi inopportuni.
Perfetti ti ringrazio un sacco. Anche io ho ottenuto 1,62 determinando x(t), dunque direi che ci siamo. Grazie a tutti
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