Mostrare successione decrescente
Ciao a tutti!
Per un esercizio sulle serie devo usare Leibniz e mi sono bloccato al punto in cui devo mostrare che la successione $ (arctan(nx^2))/n^alpha $ è decrescente (o anche definitivamente).
Non so come mostrarlo con $ alpha ∈ (0,1] $ perché con $ alpha >1 $ so che il limite della successione con n che tende a infinito è 0, quindi la successione è sicuramente definitivamente decrescente essendo positiva.
Ho provato a calcolare la derivata ma esce una cosa improponibile, a mio avviso, cercare di calcolarne il segno.
Avete suggerimenti?
In ogni caso vi lascio il testo dell'esercizio.
Grazie
Per un esercizio sulle serie devo usare Leibniz e mi sono bloccato al punto in cui devo mostrare che la successione $ (arctan(nx^2))/n^alpha $ è decrescente (o anche definitivamente).
Non so come mostrarlo con $ alpha ∈ (0,1] $ perché con $ alpha >1 $ so che il limite della successione con n che tende a infinito è 0, quindi la successione è sicuramente definitivamente decrescente essendo positiva.
Ho provato a calcolare la derivata ma esce una cosa improponibile, a mio avviso, cercare di calcolarne il segno.
Avete suggerimenti?
In ogni caso vi lascio il testo dell'esercizio.
Grazie
Risposte
"alessioben":
so che il limite della successione con n che tende a infinito è 0, quindi la successione è sicuramente definitivamente decrescente essendo positiva.
Sicur*? In generale dico.
No? Se è positiva e a infinito tende a 0 pensavo che da un certo punto in poi deve decrescere per tendere a 0.
Comunque se così non fosse il problema sarebbe comunque studiare quando la funzione è decrescente per ogni alpha > 0, ma non so come procedere
Comunque se così non fosse il problema sarebbe comunque studiare quando la funzione è decrescente per ogni alpha > 0, ma non so come procedere
"alessioben":
No? [...]
Un commento generale. Leibniz standard ha bisogno della monotonia; prendi la successione \( a_n = 1/n\) per \(n \) pari e \( a_n = 0\) per \(n \) dispari. Poi domani ti rispondo alla domanda principale.
Non puoi semplicemente dire che, essendo $0 <= \arctan(nx^2) <= \pi/2$, la tua serie è compresa tra
$\sum -\pi/(2n^\alpha) <= \sum (-1)^n \arctan(nx^2)/(n^\alpha) <= \sum \pi/(2n^\alpha) $
e che le due serie laterali convergono per Leibniz per $\alpha > 0$?
Comunque non è vero che una successione $a_n > 0$ e tale che $a_n \to 0$ è definitivamente decrescente.
Consideriamo ad esempio la successione fatta dai seguenti termini: $1, 1/2, 1/3, 1/2, 1/4, 1/3, 1/5, 1/4, 1/6, 1/5, 1/7,...$
Questa successione tende a zero (ogni due passi aumento di 1 il denominatore), ma non è mai definitivamente decrescente.
$\sum -\pi/(2n^\alpha) <= \sum (-1)^n \arctan(nx^2)/(n^\alpha) <= \sum \pi/(2n^\alpha) $
e che le due serie laterali convergono per Leibniz per $\alpha > 0$?
Comunque non è vero che una successione $a_n > 0$ e tale che $a_n \to 0$ è definitivamente decrescente.
Consideriamo ad esempio la successione fatta dai seguenti termini: $1, 1/2, 1/3, 1/2, 1/4, 1/3, 1/5, 1/4, 1/6, 1/5, 1/7,...$
Questa successione tende a zero (ogni due passi aumento di 1 il denominatore), ma non è mai definitivamente decrescente.
Ciao alessioben,
La serie proposta $ \sum_{n = 1}^{+\infty} (-1)^n \arctan(nx^2)/(n^\alpha) $
i) non converge per $\alpha \le 0 $;
ii) converge assolutamente, e quindi anche semplicemente per un ben noto teorema sulle serie, per $\alpha > 1 $;
iii) Per $\alpha \in (0, 1] $ la successione delle somme parziali $s_n $ si mantiene sempre negativa, la sottosuccessione $s_{2n} $ è decrescente, la sottosuccessione $s_{2n + 1} $ invece è crescente: la serie proposta converge solo semplicemente.
Quindi, riassumendo:
$E_{\alpha} = {\alpha \in \RR : \alpha > 0} $
$E'_{\alpha} = {\alpha \in \RR : \alpha > 1} $
La serie proposta $ \sum_{n = 1}^{+\infty} (-1)^n \arctan(nx^2)/(n^\alpha) $
i) non converge per $\alpha \le 0 $;
ii) converge assolutamente, e quindi anche semplicemente per un ben noto teorema sulle serie, per $\alpha > 1 $;
iii) Per $\alpha \in (0, 1] $ la successione delle somme parziali $s_n $ si mantiene sempre negativa, la sottosuccessione $s_{2n} $ è decrescente, la sottosuccessione $s_{2n + 1} $ invece è crescente: la serie proposta converge solo semplicemente.
Quindi, riassumendo:
$E_{\alpha} = {\alpha \in \RR : \alpha > 0} $
$E'_{\alpha} = {\alpha \in \RR : \alpha > 1} $
Grazie mille a entrambi! Ho unito quello che avete detto e ho provato a farlo.
Settimana prossima vedrò la correzione del prof se va bene
Settimana prossima vedrò la correzione del prof se va bene
"alessioben":
Credo si voglia calcolare al variare di $alpha in RR$ gli insiemi $E_alpha = \{ x in RR: " la serie converge semplicemente"\}$ ed $E_alpha^\prime = \{ x in RR: " la serie converge assolutamente"\}$.
Per $\alpha > 1$, la serie è ovunque assolutamente convergente poiché maggiorata termine a termine da una serie nonnegativa convergente (un multiplo della serie armonica generalizzata d'esponente $alpha$); quindi:
$E_alpha = E_alpha^\prime = RR ", se " alpha > 1$.
D'altra parte, per $alpha <= 0$ la serie non converge in nessun punto fuori da $0$; dunque:
$E_alpha = E_alpha^\prime = \{ 0\} ", se " alpha <= 0$.
Per $0
$E_alpha^\prime =\{ 0\} ", se " 0 < alpha <= 1$.
Sempre per $0< alpha <= 1$, per studiare la convergenza semplice bisogna ricorrere a Leibniz; per stabilire il comportamento della serie basta studiare la monotonia rispetto ad $n$ della successione $(arctan(n x^2))/n^alpha$ o, ciò che è lo stesso, della successione $(arctan(n x^2))/(n x^2)^alpha$ (visto che dividere per $(x^2)^alpha$ non altera la monotonia); allora poniamo $t = n x^2$ e deriviamo la funzione $f(t) = (arctan t)/t^alpha$: abbiamo:
$f^\prime (t) = 1/((1 + t^2) t^alpha) - (alpha arctan t)/(t^(alpha + 1))$
e, dato che $0 < alpha <= 1 => 1 < alpha +1 <= 2$ e che per $t$ "grande" si ha $1/((1+t^2)t^alpha) ~~ 1/t^(alpha + 2)$, $(alpha arctan t)/(t^(alpha + 1)) ~~ (alpha pi/2)/t^(alpha + 1)$ e $t^(alpha +2) > t^(alpha +1)$, abbiamo certamente:
$f^\prime (t) ~~ 1/t^(alpha + 2) - (alpha pi/2)/t^(alpha + 1) < 0$ intorno a $+oo$,
da cui segue che $f(t)$ è strettamente decrescente per $t$ "grande" e, perciò, che $(arctan(n x^2))/(n x^2)^alpha$ è strettamente decrescente per $n$ "grande" (cioè definitivamente). Per Leibniz allora troviamo:
$E_alpha = RR ", se " 0 < alpha <=1$.
Quindi, riassumendo:
$E_alpha = \{ (\{ 0\}, ", se " alpha <= 0), (RR, ", se " alpha > 0):}$ e $E_alpha^\prime = \{ (\{ 0\}, ", se " alpha <= 1), (RR, ", se " alpha > 1):}$
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