Mostrare che una funzione è \(C^{\infty}\mathbb{R}^{2}\)

[sméagol1]

Se ad esempio ho su \(\mathbb{R}^{2}_{x\neq 0}\) la funzione
\[
F(x,t)=
\begin{cases}
t^{-1/2}e^{-x^{2}/4t}& t>0 \\
0 &t\leq 0
\end{cases}
\mbox{,}
\]
devo calcolare la derivata \(k\)-esima rispetto alla \(x\) e poi di questa la derivata \(n\)-esima rispetto alla \(t\) attraverso una sommatoria esplicita? Lo chiedo perché è l'unica cosa che mi viene in mente ma mi sembra *strano* (faticoso) calcolare tutte queste derivate. La definizione recita che \(f \in C^{\infty}\mathbb{R}^{2}\) se \(D^{\alpha}f\in C\mathbb{R}^{2}\) per ogni multiindice \(\alpha\).

[ciampax]

Un prodotto di funzioni $C^\infty$ è ancora una funzione $C^\infty$. Quelle due lo sono? Puoi provare a determinarlo considerando che tipo di funzioni sono, come sono composte e ragionando sul loro insieme di definizione. Giusto per farti un esempio: se io prendo $y=\sqrt{x}$ sul dominio $[0,+\infty)$ questa non è nemmeno $C^1$, visto che in $x=0$ la derivata non è definita bene. Ma se prendo come dominio $[1,+\infty)$, la funzione che ho scritto diventa $C^\infty$.

[sméagol1]

Giusto. Sia \(f_{1}=t^{-1/2}\), \(f_{2}=e^{-x^{2}/4t}\) su \(\mathbb{R}^{2}_{x\neq 0,t>0}\). Con la prima ci siamo perché \(t>0\) etc... ma per la seconda le derivate in \(x\) ed in \(t\) sono rispettivamente wikf e wolf. Devo ancora scrivere la derivata \(n,k\)-esima esplicitamente o posso ancora fare altro?

[ciampax]

Ma non cè bisogno di fare nessuna derivata. Osserva che la funzione esponenziale è $C^\infty$, quindi il problema sta tutto sul come è fatto l'esponente. E visto che $x^2$ è polinomiale e $1/t$ è $C^\infty$ su $t>0$...

[sméagol1]

Hai proprio ragione