Mostrare che : $ 5x^5 -10x^3 + 5x +1 =0$ ..........
ha tre soluzioni distinte : $x_1 , x_2, x_3$ e che :
$x_1 <-1
Io ho scomposto l'equazione fino ad arrivare a :
$ 5x *(x+1)^2*(x-1)^2+1=0$
che può anche essere scritta come:
$ 5x *(x+1)^2*(x-1)^2=-1$ $(1)$
Ora per essere vera la $(1) $ sicuramente dobbiamo scartare :
$x=0$ , $ x=1$ , e $x=-1$ perchè in quei casi la parte sinistra dell'equazione risulterebbe $ =0 $ e quindi non si potrebbe mai verificare l'uguaglianza con la parte destra.
D'altra parte una soluzione deve anche essere sicuramente :
$<0$ altrimenti la parte sinistra non potrà mai essere negativa dovendo moltiplicare $5x$ per polinomi al quadrato:
$(x+1)^2$ e $ (x-1)^2$ , pertanto.....
qui mi sono fermato pensando ancora altre considerazioni che per ora non riesco a trovare.
$x_1 <-1
Io ho scomposto l'equazione fino ad arrivare a :
$ 5x *(x+1)^2*(x-1)^2+1=0$
che può anche essere scritta come:
$ 5x *(x+1)^2*(x-1)^2=-1$ $(1)$
Ora per essere vera la $(1) $ sicuramente dobbiamo scartare :
$x=0$ , $ x=1$ , e $x=-1$ perchè in quei casi la parte sinistra dell'equazione risulterebbe $ =0 $ e quindi non si potrebbe mai verificare l'uguaglianza con la parte destra.
D'altra parte una soluzione deve anche essere sicuramente :
$<0$ altrimenti la parte sinistra non potrà mai essere negativa dovendo moltiplicare $5x$ per polinomi al quadrato:
$(x+1)^2$ e $ (x-1)^2$ , pertanto.....
qui mi sono fermato pensando ancora altre considerazioni che per ora non riesco a trovare.
Risposte
Io, senza saper né leggere né scrivere, andrei a guardare cosa fa la derivata prima e calcolerei i punti di massimo e di minimo di $f(x)=5x^5-10x^3+5x+1$.
In tal modo, tenendo presente anche che $lim_(x\to pm oo) f(x)=pm oo$, puoi dire con esattezza anche in che intervalli cadono gli zeri di $f$.
In tal modo, tenendo presente anche che $lim_(x\to pm oo) f(x)=pm oo$, puoi dire con esattezza anche in che intervalli cadono gli zeri di $f$.
Mica tanto senza saper leggere nè scrivere.... bisognerebbe sapere dall'autore se l'uso dell'analisi è concesso.
Avendo postato in analisi è una supposizione lecita 
Ok grazie. Allora ho trovato 2 MAX e 2 MIN in particolare
la funzione parte da $ -infty $ ed arriva al primo MAX di coordinate $ (-1,1) $ attraversando prima l'asse delle $ x$ (primo zero della funzione $f(x)$ ) :
$x_1 < -1$ poi la funzione decresce e prima di arrivare ad un MIN relativo di coordinate
$( (-sqrt5)/5, (-16*(sqrt5) + 25 )/25) $ attraversa nuovamente l'asse delle x (ovviamente dato che passa da valori positivi a valori negativi)
perciò $ x_2 > -1$ :
Ancora la funzione inverte il suo grafico e ricomincia a crescere e prima di arrivare al secondo MAX $(sqrt5/5, (16*sqrt5 +25)/25)$ attraversa ancora l'asse delle $x$ ( terzo zero della funzione )
$x_3>x_2 $ e a sua volta $<0 $ .
E cosi' via.
In questo modo credo che si possa aver dimostrato che :
$x_1 < -1 < x_2 < x_3 < 0 $
Roby
la funzione parte da $ -infty $ ed arriva al primo MAX di coordinate $ (-1,1) $ attraversando prima l'asse delle $ x$ (primo zero della funzione $f(x)$ ) :
$x_1 < -1$ poi la funzione decresce e prima di arrivare ad un MIN relativo di coordinate
$( (-sqrt5)/5, (-16*(sqrt5) + 25 )/25) $ attraversa nuovamente l'asse delle x (ovviamente dato che passa da valori positivi a valori negativi)
perciò $ x_2 > -1$ :
Ancora la funzione inverte il suo grafico e ricomincia a crescere e prima di arrivare al secondo MAX $(sqrt5/5, (16*sqrt5 +25)/25)$ attraversa ancora l'asse delle $x$ ( terzo zero della funzione )
$x_3>x_2 $ e a sua volta $<0 $ .
E cosi' via.
In questo modo credo che si possa aver dimostrato che :
$x_1 < -1 < x_2 < x_3 < 0 $
Roby
"ANTONELLI ":
la funzione decresce e, prima di arrivare ad un MIN relativo di coordinate $( (-sqrt5)/5, (-16*(sqrt5) + 25 )/25) $, attraversa nuovamente l'asse delle x (ovviamente dato che passa da valori positivi a valori negativi)
perciò $ x_2 > -1$
Ed anche $x_2<-\sqrt(5)/5$...
"ANTONELLI ":
Ancora la funzione inverte il suo grafico e ricomincia a crescere e prima di arrivare al secondo MAX attraversa ancora l'asse delle $x$ ( terzo zero della funzione )
$x_3>x_2 $ e a sua volta $<0 $ .
In realtà, basandoti unicamente sulla monotonia, puoi dire solo che $-\sqrt(5)/5
"ANTONELLI ":
E cosi' via.
E così via cosa?
Hai praticamente finito.
Infatti l'altro MIN relativo è in $1$ ma, essendo $f(sqrt(5)/5)>f(1)>0$, si ha certamente $f(x)>0$ per ogni $x>\sqrt(5)/5$, quindi $f$ non ha zeri maggiori di $x_3$.
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