Monotonia,massimi e minimi senza derivate?

[Ale1121]

Ciao, sto cercando di fare il seguente esercizio preso da una prova d'esame:
Ho la seguente funzione $f(x) = (1/x)cos^-1(1/x)$ e devo studiarne la monotonia trovando massimi e minimi.

Io mi sono calcolato il dominio che è domf(x) = (-infinito,-1)U(1,+infinito).
Successivamente ne calcolo la derivata che mi viene:
$f'(x)=(-1/x^2)cos^-1(1/x)+(1/x^3)(1/(sqrt(1-1/x^2))).$
Per studiarne la monotonia devo studarne il segno ma mi sembra una funzione molto complessa.Ho pensato di provare a studiarne la monotonia con i limiti agli estremi del dominio ma non ottengo molte informazioni,qualche consiglio?
Provando a risolvere la disequazione $f'(x)>0$ arriverei ad avere:
$cos^-1(1/x)>1/(xsqrt(1-1/x^2))$
Ho pensato che siccome l'arcoseno è sempre positivo devo avere il termine a destra minore di zero per far si che la disequazione sia vera per ogni x. Impongo quindi:
$1/(xsqrt(1-1/x^2))<0$ e ottengo -1

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Risposte

pilloeffe

26 mag 2019, 17:39

Ciao Ale112,

Il dominio della funzione proposta $f(x) = (1/x)cos^-1(1/x) $ è errato, quello corretto è $D = (-\infty, - 1] \cup [1, +\infty) $
D'altronde si ha $f(- 1) = - \pi $ e $f(1) = 0 $
Si ha $f(x) >= 0 $ per $ x \in [1, +\infty) $ e $f(x) < 0 $ per $ x \in (-infty, - 1] $
La funzione proposta ha un asintoto orizzontale di equazione $y = \lim_{x \to \pm infty} (1/x)cos^-1(1/x) = 0 $

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Ale1121

26 mag 2019, 18:07

Grazie per la precisazione, per quanto riguarda il mio studio della derivata prima?

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pilloeffe

26 mag 2019, 22:28

"Ale112":Grazie per la precisazione

Prego.

"Ale112":per quanto riguarda il mio studio della derivata prima?

No, non ci sei. Fra l'altro

"Ale112":ottengo -1
da qui avresti dovuto capire che qualcosa non quadrava, visto che tale intervallo è esterno al dominio della funzione proposta: $D \cup (-1, 1) = \RR $
Piuttosto si vede subito che per $x < -1 $ la derivata prima è sempre negativa, quindi la funzione proposta è decrescente per $x \in (-infty, - 1) $ e ha un minimo assoluto nel punto $L(-1, -\pi) $
Per $x > 1 $ invece la derivata prima cambia di segno e si ha un massimo avente ascissa contenuta nell'intervallo $ 1 < x < 2 $, nel punto $M(x_M, y_M) $ ove $x_M ~~ 1,5333 $ e $y_M ~~ 0,5611 $ (ottenuti numericamente).

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[pilloeffe]

Ciao Ale112,

Il dominio della funzione proposta $f(x) = (1/x)cos^-1(1/x) $ è errato, quello corretto è $D = (-\infty, - 1] \cup [1, +\infty) $
D'altronde si ha $f(- 1) = - \pi $ e $f(1) = 0 $
Si ha $f(x) >= 0 $ per $ x \in [1, +\infty) $ e $f(x) < 0 $ per $ x \in (-infty, - 1] $
La funzione proposta ha un asintoto orizzontale di equazione $y = \lim_{x \to \pm infty} (1/x)cos^-1(1/x) = 0 $

[Ale1121]

Grazie per la precisazione, per quanto riguarda il mio studio della derivata prima?

[pilloeffe]

"Ale112":Grazie per la precisazione

Prego.

"Ale112":per quanto riguarda il mio studio della derivata prima?

No, non ci sei. Fra l'altro

"Ale112":ottengo -1
da qui avresti dovuto capire che qualcosa non quadrava, visto che tale intervallo è esterno al dominio della funzione proposta: $D \cup (-1, 1) = \RR $
Piuttosto si vede subito che per $x < -1 $ la derivata prima è sempre negativa, quindi la funzione proposta è decrescente per $x \in (-infty, - 1) $ e ha un minimo assoluto nel punto $L(-1, -\pi) $
Per $x > 1 $ invece la derivata prima cambia di segno e si ha un massimo avente ascissa contenuta nell'intervallo $ 1 < x < 2 $, nel punto $M(x_M, y_M) $ ove $x_M ~~ 1,5333 $ e $y_M ~~ 0,5611 $ (ottenuti numericamente).