Monotonia successione di funzioni
Non riesco a provare la monotonia della successione di funzioni [tex]f_n: [0, +\infty[ \rightarrow \mathbb{R}[/tex] definita da [tex]f_n(x)=(1-\frac{x}{n})^n[/tex]...
Ho provato a fare un ragionamento ma non mi convince:
[tex]\frac{x}{n+1}\leq \frac{x}{n}[/tex] (e questo dovrebbe essere vero se [tex]x\leq n[/tex])
[tex](1-\frac{x}{n})\leq (1-\frac{x}{n+1})\rightarrow (1-\frac{x}{n})^n \leq (1-\frac{x}{n+1})^n (1-\frac{x}{n+1})=(1-\frac{x}{n+1})^{n+1}[/tex]
Questi passaggi dovrebbero valere quando [tex]x\leq n[/tex]. Dovrei considerare anche il caso [tex]x>n[/tex].
Intanto qualcuno mi può dire se questi passaggi sono corretti??? Se c'è la possibilità di dimostrare la monotonia in maniera più semplice che comprende i due casi?
GRAZIE in anticipo!
Ho provato a fare un ragionamento ma non mi convince:
[tex]\frac{x}{n+1}\leq \frac{x}{n}[/tex] (e questo dovrebbe essere vero se [tex]x\leq n[/tex])
[tex](1-\frac{x}{n})\leq (1-\frac{x}{n+1})\rightarrow (1-\frac{x}{n})^n \leq (1-\frac{x}{n+1})^n (1-\frac{x}{n+1})=(1-\frac{x}{n+1})^{n+1}[/tex]
Questi passaggi dovrebbero valere quando [tex]x\leq n[/tex]. Dovrei considerare anche il caso [tex]x>n[/tex].
Intanto qualcuno mi può dire se questi passaggi sono corretti??? Se c'è la possibilità di dimostrare la monotonia in maniera più semplice che comprende i due casi?
GRAZIE in anticipo!
Risposte
Io ho provato con una strada che non so quanto possa essere corretta. Te la scrivo poi magari qualcuno arriverà a correggermi.
Supponiamo di srivere la funzione di partenza come il prodotto di $n+1$ termini : $1*(1-x/n)*(1-x/n) * (.....)* (1-x/n)$. Ora sfruttiamo la disuguaglianza tra media geometrica e media aritmetica:
$root(n+1)((1-x/n)^n) < (n+1 - x)/(n+1) = 1- x/(n+1)$
ora eleviamo ambo i membri alla $n+1$ in modo da ottenere:
$(1-x/n)^n < (1- x/(n+1))^(n+1)$.
In questo modo abbiamo dimostrato che la funzione è strettamete crescente, dunque monotona.
Volendo credo si potesse anche sfruttare la disuguaglianza di Bernoulli.
Supponiamo di srivere la funzione di partenza come il prodotto di $n+1$ termini : $1*(1-x/n)*(1-x/n) * (.....)* (1-x/n)$. Ora sfruttiamo la disuguaglianza tra media geometrica e media aritmetica:
$root(n+1)((1-x/n)^n) < (n+1 - x)/(n+1) = 1- x/(n+1)$
ora eleviamo ambo i membri alla $n+1$ in modo da ottenere:
$(1-x/n)^n < (1- x/(n+1))^(n+1)$.
In questo modo abbiamo dimostrato che la funzione è strettamete crescente, dunque monotona.
Volendo credo si potesse anche sfruttare la disuguaglianza di Bernoulli.
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